2014-重庆卷理-17 解-三角函数的周期性

本题导读

本题考查三角函数的图像性质及其恒等变换。第一问通过周期和对称轴确定解析式参数；第二问在解析式确定的基础上，利用已知函数值通过角变换和恒等式求出目标三角函数值。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin (\omega x+\phi )\left(\omega >0,-\frac{\pi }{2}\le \phi <\frac{\pi }{2}\right)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi }{3}$ 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为 $\pi$.

(1) 求 $\omega$ 和 $\phi$ 的值；

(2) 若 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}\right)$，求 $\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问分析：
   • 相邻两个最高点的距离即为最小正周期 $T$，利用 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求出 $\omega$。
   • 图像关于 $x=\frac{\pi }{3}$ 对称，说明在该处取得最值，即 $\omega \cdot \frac{\pi }{3}+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。结合 $\phi$ 的取值范围确定其唯一值。
2. 第二问分析：
   • 将第一问求得的 $\omega ,\phi$ 代入 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)$，得到关于 $\alpha$ 的三角函数值。
   • 利用诱导公式化简待求式：$\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \alpha$。
   • 观察已知角与待求角的关系：$\alpha =\left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{6}$。
   • 利用两角和的正弦公式展开并求解。

✅【答案】

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(1) 求 $\omega$ 和 $\phi$ 的值；(2)求值

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $\omega$ 和 $\phi$ 的值 由题意，相邻两个最高点的距离为 $\pi$，即 $T=\pi$。 因为 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ ($\omega >0$)，所以 $\omega =2$。 又函数 $f(x)$ 的图像关于直线 $x=\frac{\pi }{3}$ 对称， 所以 $2\cdot \frac{\pi }{3}+\phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 即 $\phi =k\pi -\frac{\pi }{6}$。 因为 $-\frac{\pi }{2}\le \phi <\frac{\pi }{2}$， 取 $k=0$，得 $\phi =-\frac{\pi }{6}$。 故 $\omega =2,\phi =-\frac{\pi }{6}$。

(2) 求值 由(1)知 $f(x)=\sqrt{3}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。 因为 $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\sqrt{3}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{4}$， 所以 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{4}$。 因为 $\frac{\pi }{6}<\alpha <\frac{2\pi }{3}$，所以 $0<\alpha -\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$。 则 $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{1-{\sin }^2\left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。 由诱导公式得 $\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \alpha$。 而 $\sin \alpha =\sin \left[\left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{6}\right]$ $=\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)\cos \frac{\pi }{6}+\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)\sin \frac{\pi }{6}$ $=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{15}}{4}\cdot \frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$。 故 $\cos \left(\alpha +\frac{3\pi }{2}\right)=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦型函数解析式与求值。

2. 核心方法：由周期求 $\omega$，由对称轴求 $\phi$，用角变换与两角和求值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 周期、对称轴与诱导公式、两角和公式。

2. 结论推广: 相邻最高点距离即周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。

3. 方法推广: 求三角函数值拆角后用两角和公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-01 填-三角函数周期
• 2014-新课标I卷文-07 单-三角函数周期
• 2014-上海卷文-01 填-三角函数周期