2015-重庆卷文-16 解-等差数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的基本量计算及前 $n$ 项和公式，考查代数化简与方程组求解能力。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_3=2$，前 3 项和 $S_3=\frac{9}{2}$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设等比数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=a_1$，$b_4=a_{15}$，求 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。利用 $a_3=2$ 和 $S_3=\frac{9}{2}$ 列方程组，求出 $a_1$ 和 $d$，进而得出通项公式 $a_n$。
2. 第二问：根据第一问求出的 $a_n$，计算 $a_1$ 和 $a_{15}$。由 $b_1=a_1$，$b_4=a_{15}$ 求出等比数列 $\{b_n\}$ 的公比 $q$，利用等比数列前 $n$ 项和公式求 $T_n$。

✅【答案】

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所以等比数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为： $T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1\cdot (1-2^n)}{1-2}=2^n-1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。 由题意得： $\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=2\\ 3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=\frac{9}{2}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=2\\ 3a_1+3d=\frac{9}{2}\end{array}$ 第二式两边同除以 $3$ 得 $a_1+d=\frac{3}{2}$。 两式相减得： $d=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ 代入求得 $a_1=1$。

所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$

(2) 由 (1) 可知 $a_1=1$，且 $a_{15}=\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}=8$。 设等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$。 因为 $b_1=a_1=1$，$b_4=a_{15}=8$，所以： $b_4=b_1{q}^3⟹1\cdot q^3=8⟹q=2$

所以等比数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为： $T_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{1\cdot (1-2^n)}{1-2}=2^n-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列与等比数列的通项公式、求和公式。
2. 核心方法：基本量法（将数列问题转化为关于 $a_1,d,q$ 的方程组求解）。
3. 避坑指南：解等比数列前 $n$ 项和时需注意公比 $q\ne 1$ 的前提条件；注意审清字母下标（如 $a_{15}$ 与 $b_4$ 的对应关系）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自必修五数列章节的主干解答题，侧重考查双数列交叉命题及基本量的精准计算。
2. 结论推广：若已知 $b_k=a_m$，通常通过先解出等差数列的对应项，再结合等比数列性质 $q^{k-1}=\frac{b_k}{b_1}$ 求解公比。

🔗【关联脉络】

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• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练(Links)

• 2013年重庆卷理-12
• 2014-重庆卷理-02 单-等比数列的性质
• 2014-重庆卷理-22 解-构造新数列求通项