2015-重庆卷理-10 单-双曲线性质

本题导读

本题是 2015 年重庆理科卷选择题的压轴题。考查双曲线背景下的复杂几何位置关系。解题关键是将“垂线交点”这一几何条件转化为坐标运算，建立关于 $a,b,c$ 的不等式，最终推导出渐近线斜率 $\pm \frac{b}{a}$ 的取值范围。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 设双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的右顶点为 $A$，右焦点为 $F$.过点 $F$ 作 $AF$ 的垂线与双曲线交于 $B,C$ 两点，过 $B,C$ 分别作 $AC,AB$ 的垂线交于点 $D$.若 $D$ 到直线 $BC$ 的距离小于 $a+\sqrt{a^2+b^2}$，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 ()

A. $(-1,0)\cup (0,1)$B. $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$

C. $(-\sqrt{2},0)\cup (0,\sqrt{2})$D. $(-\infty ,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标化关键点：由题意得 $A(a,0),F(c,0)$。由于 $BC\perp AF$（即垂直于 $x$ 轴），通径上的点 $B(c,\frac{b^2}{a}),C(c,-\frac{b^2}{a})$。
2. 确定 $D$ 点位置：由图形对称性知 $D$ 必在 $x$ 轴上，设 $D(x_D,0)$。利用 $BD\perp AC$（斜率乘积为 -1）建立关于 $x_D$ 的方程。
3. 转化距离条件：$D$ 到直线 $BC$（直线方程为 $x=c$）的距离即为 $|c-x_D|$。
4. 建立不等式：将距离代入已知不等式 $|c-x_D|<a+c$，化简得到关于 $a,b$ 的不等关系。
5. 求解斜率范围：渐近线斜率为 $k=\pm \frac{b}{a}$，通过不等式解出 $\frac{b}{a}$ 的范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定相关点坐标 双曲线右顶点 $A(a,0)$，右焦点 $F(c,0)$。 直线 $BC$ 过 $F$ 且垂直于 $x$ 轴，代入双曲线方程得 $B(c,\frac{b^2}{a})$，$C(c,-\frac{b^2}{a})$。

第二步：求点 $D$ 的坐标 由对称性，点 $D$ 在 $x$ 轴上，设 $D(x_D,0)$。 直线 $AC$ 的斜率 $k_{AC}=\frac{-\frac{b^2}{a}-0}{c-a}=-\frac{b^2}{a(c-a)}$。 直线 $BD$ 的斜率 $k_{BD}=\frac{\frac{b^2}{a}-0}{c-x_D}=\frac{b^2}{a(c-x_D)}$。 因为 $BD\perp AC$，所以 $k_{BD}\cdot k_{AC}=-1$： $\frac{b^2}{a(c-x_D)}\cdot \left[-\frac{b^2}{a(c-a)}\right]=-1⟹\frac{b^4}{a^2(c-x_D)(c-a)}=1$ 解得 $c-x_D=\frac{b^4}{a^2(c-a)}$。

第三步：利用距离不等式 点 $D(x_D,0)$ 到直线 $BC:x=c$ 的距离为 $d=|c-x_D|$。 已知 $d<a+\sqrt{a^2+b^2}=a+c$。 代入得：$\frac{b^4}{a^2(c-a)}<a+c$ $\frac{b^4}{c-a}<a^2(a+c)$ 由于 $b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)$，代入上式： $\frac{(c-a{)}^2(c+a{)}^2}{c-a}<a^2(a+c)$ $(c-a)(c+a{)}^2<a^2(a+c)$ 两边约去 $(a+c)>0$ 得： $(c-a)(c+a)<a^2⟹c^2-a^2<a^2$ $b^2<a^2⟹\frac{b^2}{a^2}<1⟹\frac{b}{a}<1$。

第四步：确定斜率范围 渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，其斜率为 $\pm \frac{b}{a}$。 因为 $\frac{b}{a}<1$ 且 $b/a>0$，所以斜率范围为 $(-1,0)\cup (0,1)$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 通径点的妙用：过焦点垂直于主轴的弦（通径）端点坐标 $(c,\pm \frac{b^2}{a})$ 是双曲线题目中的高频计算点。
2. 对称性简化：预判 $D$ 点在 $x$ 轴上可以少设一个变量，极大降低运算压力。
3. 代数消元技巧：在 $a,b,c$ 混合的不等式中，利用 $b^2=c^2-a^2$ 灵活进行因式分解和约分是压轴题的必备技能。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 本题若不使用坐标法，也可以利用直角三角形的射影定理进行几何求解，但坐标法在处理“垂直”和“距离”时逻辑更加闭环。
• 变式思考: 若将条件改为“$D$ 到直线 $BC$ 的距离大于 $a+c$”，则该双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是多少？ (提示：此时 $\frac{b^2}{a^2}>1⟹e^2-1>1⟹e>\sqrt{2}$。)

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-16 填-绝对值不等式的恒成立问题
• 2014-重庆卷理-08 单-双曲线定义
• 2013年重庆卷理-16