2015-重庆卷理-16 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查含参数的绝对值函数最值问题。核心在于理解绝对值函数 $f(x)=|x-m|+k|x-n|$ 的图象特征（折线图），通过零点分段讨论或利用绝对值的几何性质确定最小值取得的临界点，从而建立关于参数 $a$ 的方程。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） （选做题-不等式选讲） 若函数 $f(x)=|x+1|+2|x-a|$ 的最小值为 5，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数特征：这是一个典型的“折线型”绝对值函数。由于两个绝对值项前面的系数不相等（一个是 1，一个是 2），其图象在两个零点 $x=-1$ 和 $x=a$ 处发生转折。
2. 确定最小值位置：
   • 当 $x>a$ 且 $x>-1$ 时，斜率为 $1+2=3$（递增）；
   • 当 $x<a$ 且 $x<-1$ 时，斜率为 $-1-2=-3$（递减）；
   • 在 $-1$ 与 $a$ 之间，斜率的绝对值为 $|1-2|=1$。
   • 由于两侧斜率符号相反且向内递减，最小值必然在其中一个“拐点”（即零点）处取得。
3. 分类讨论与验证：分别代入 $x=-1$ 和 $x=a$ 计算函数值，令其等于 5，求出 $a$ 后需验证该点是否确实为全局最小值点。

✅【答案】

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4 或 -6

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定最小值的可能位置 函数 $f(x)=|x+1|+2|x-a|$ 的图象是斜率在 $\{-3,-1,1,3\}$ 或 $\{-3,1,-1,3\}$ 之间变化的折线。 无论 $a>-1$ 还是 $a<-1$，函数的图象在 $(-\infty ,\min (-1,a))$ 递减，在 $(\max (-1,a),+\infty )$ 递增。 因此，最小值必在 $x=-1$ 或 $x=a$ 处取得。

第二步：情形讨论 情况 ①：最小值在 $x=a$ 处取得 此时 $f(a)=|a+1|+2|a-a|=|a+1|$。 令 $|a+1|=5$，解得 $a=4$ 或 $a=-6$。

• 当 $a=4$ 时，$f(x)=|x+1|+2|x-4|$。拐点值为 $f(-1)=10,f(4)=5$，最小值为 5，符合。
• 当 $a=-6$ 时，$f(x)=|x+1|+2|x+6|$。拐点值为 $f(-1)=10,f(-6)=5$，最小值为 5，符合。

情况 ②：最小值在 $x=-1$ 处取得 此时 $f(-1)=|-1+1|+2|-1-a|=2|a+1|$。 令 $2|a+1|=5$，解得 $|a+1|=2.5$，即 $a=1.5$ 或 $a=-3.5$。

• 当 $a=1.5$ 时，$f(x)=|x+1|+2|x-1.5|$。拐点值为 $f(-1)=5,f(1.5)=2.5$。此时最小值应为 2.5 而非 5，不合题意。
• 当 $a=-3.5$ 时，$f(x)=|x+1|+2|x+3.5|$。拐点值为 $f(-1)=5,f(-3.5)=2.5$。同理，不合题意。

第三步：总结结果 综合以上讨论，只有当 $a=4$ 或 $a=-6$ 时，函数的最小值为 5。

故答案为：4 或 -6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 系数对最小值的影响：对于 $f(x)=m|x-a|+n|x-b|$，若 $m\ne n$，最小值一定在系数绝对值较大的那一项对应的零点处取得。本题中 $|x-a|$ 前系数为 2，大于 $|x+1|$ 前的系数 1，故最小值必在 $x=a$ 处。
2. 图象法直观判定：通过斜率的变化可以快速锁定最小值点，避免盲目代入。
3. 易错点：求出 $a$ 后必须回检。因为绝对值方程 $|a+1|=5$ 有两个解，漏掉其中一个或未能剔除不符合“最小值”定义的解是常见失分原因。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 利用绝对值不等式性质 $|x+1|+|x-a|\ge |(x+1)-(x-a)|=|a+1|$。 则 $f(x)=(|x+1|+|x-a|)+|x-a|\ge |a+1|+|x-a|$。当 $x=a$ 时取等号，最小值为 $|a+1|$。
• 变式思考: 若要求 $f(x)\ge 5$ 恒成立，实数 $a$ 的取值范围是多少？ (提示：即要求 $f(x{)}_{min}\ge 5$，由本题结论可知 $|a+1|\ge 5$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-16 填-绝对值不等式的恒成立问题
• 2013年重庆卷理-16
• 2013年重庆卷理-3