2015-陕西卷文-08 单-向量恒等式

本题导读

A 是柯西不等式恒成立；C、D 是向量平方与分配律恒等式；B 的三角不等式方向写反，反例 $(1,0),(0,1)$ 即破，选 B。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 对任意向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，下列关系式中不恒成立的是 ()

A. $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|\le |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$　　　　　　　　　　　　　　B. $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|\le \left||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}|\right|$

C. $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2=|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2$　　　　　　　　　　　　D. $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})={\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2$

🔍【思路分析】

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A 是柯西不等式恒成立；C、D 是向量平方与分配律恒等式；B 的三角不等式方向写反，反例 $(1,0),(0,1)$ 即破，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

（A）$|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}||\cos \theta |\le |\mathbf{a}||\mathbf{b}|$，恒成立。

（C）向量的平方等于其模的平方：$(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2={\mathbf{a}}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2=|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2$，恒成立。

（D）由分配律：$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}={\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2$，恒成立。

（B）正确的三角不等式是 $||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||\le |\mathbf{a}-\mathbf{b}|$，选项把方向写反了。反例：取 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(0,1)$，则 $|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=\sqrt{2}>0=||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||$。

故不恒成立的是 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的性质（柯西不等式）；向量模的三角不等式；运算律

核心方法：“恒等式逐一验证 + 三角不等式方向辨析”

避坑指南：①三角不等式有两条：$|\mathbf{a}\pm \mathbf{b}|\le |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$ 与 $||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||\le |\mathbf{a}\pm \mathbf{b}|$，B 把”差模”与”模差”的大小方向写反；②验证恒等式时 $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2$ 必须展开为点乘，不能当作代数平方直乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量恒等式与不等式的四选一辨析题（doc 考点定位：向量的模、数量积），本质是检验对运算律与模性质的熟练度。

结论推广：一般地，$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|\ge ||\mathbf{a}|-|\mathbf{b}||$ 恒成立（三角不等式），等号在 $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$ 共线时取得。

方法推广：“不恒成立”类选择题：优先排查常被写反的不等式（三角不等式、均值不等式），再举最简单的单位正交向量作反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-8
• 2014-陕西卷理-08 单-四种命题
• 2007-陕西卷理-08 单-函数图象平移变换