2015-陕西卷文-09 单-奇偶单调

本题导读

$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数；$f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$ 且仅在 $x=2k\pi$ 的孤立点为零，故严格增；$f(0)=0$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 设 $f(x)=x-\sin x$，则 $f(x)$ ()

A. 既是奇函数又是减函数　　　　　　　B. 既是奇函数又是增函数

C. 是有零点的减函数　　　　　　　　　D. 是没有零点的奇函数

🔍【思路分析】

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$f(-x)=-f(x)$ 为奇函数；$f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$ 且仅在 $x=2k\pi$ 的孤立点为零，故严格增；$f(0)=0$。选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

奇偶性：$f(-x)=-x-\sin (-x)=-x+\sin x=-f(x)$，故 $f(x)$ 是奇函数。

单调性：$f^{\prime }(x)=1-\cos x\ge 0$，且 $1-\cos x$ 仅在 $x=2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）这些孤立点处为零，在任意区间内不恒为零，故 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数。

又 $f(0)=0-\sin 0=0$，即 $f(x)$ 有零点。综上，$f(x)$ 既是奇函数又是增函数。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的奇偶性；导数与单调性

核心方法：”$f^{\prime }\ge 0$ 且零点孤立 $\Rightarrow$ 严格增”的判定

避坑指南：①”导数 $\ge 0$“不足以断言严格增，必须补上”导数不恒为零”（只在孤立点为零）的说明；②$f(0)=0$ 说明奇函数有零点，D 错在”没有零点”，C 错在”减函数”——奇偶与单调两个维度都要核。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数性质综合判断题（doc 考点定位：函数的性质），$y=x-\sin x$ 是”奇函数 + 单调增”的经典示例函数。

结论推广：一般地，$f(x)=x\pm \sin x$、$f(x)=x\mp \tan x$ 等都满足 $f^{\prime }\ge 0$（或 $\le 0$）且导数零点孤立，严格单调；“三角函数相对于 $x$ 的放缩”皆源于此。

方法推广：性质判断题按”定义域 → 奇偶 → 单调（导数 + 孤立零点说明）→ 特殊值”的顺序逐项落实，四项写清再对照选项。

🔗【关联脉络】

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