2013-天津卷理-08 单-奇偶性与单调性

本题导读

本题考查函数的基本性质，以及奇偶性与单调性。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=x(1+a|x|)$.设关于 $x$ 的不等式 $f(x+a)<f(x)$ 的解集为 $A$，若 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\subseteq A$，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},0\right)$

C. $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)\cup \left(0,\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$　　　　　　　　　　D. $\left(-\infty ,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数性质： 将 $f(x)$ 写成分段形式：$f(x)=\{\begin{array}{l}a{x}^2+x,x\ge 0\\ -a{x}^2+x,x<0\end{array}$。 这是一个奇函数，其单调性由参数 $a$ 决定。
2. 几何意义转化： $f(x+a)<f(x)$ 意味着函数 $y=f(x)$ 向左（或向右）平移 $|a|$ 个单位后的图象在原图象下方。 解集包含 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 说明在该区间内，$f(x+a)<f(x)$ 恒成立。
3. 分类讨论 $a$ 的正负：
   • 若 $a=0$，恒等不成立。
   • 若 $a>0$，观察开口方向及平移趋势判定是否符合。
   • 若 $a<0$，利用函数单调性简化不等式。
4. 解析法求解： 当 $a<0$ 时，函数在定义域内递增。由 $f(x+a)<f(x)$ 且平移量为负（向右平移），通过端点值限制 $a$ 的范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分类讨论参数 $a$

• 当 $a=0$ 时，$f(x)=x$，不等式变为 $x+a<x⟹0<0$，无解，不符。
• 当 $a>0$ 时，$f(x)$ 是分段抛物线。$f(x+a)<f(x)$ 要求将图象左移 $a$ 个单位后变小。通过作图发现，当 $a>0$ 时，图象在 $x>0$ 部分整体上移，不满足在区间内始终变小的要求，故舍去。


第二步：分析 $a<0$ 的情况 当 $a<0$ 时，设 $a=-m$ ($m>0$)。此时 $f(x)=x(1-m|x|)$。 此时函数 $f(x)$ 在 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 上是单调递增的。 若 $f(x+a)<f(x)$ 在 $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ 上恒成立，由于 $a<0$，图象向右平移。 根据单调性，只需满足右端点处的限制即可。但更严谨地，代入 $x=-\frac{1}{2}$ 进行验证： 由于 $a<0$，且 $x\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$，则 $x+a<x$。 要使 $f(x+a)<f(x)$ 恒成立，结合 $a<0$ 时函数在原点附近的单调性，需满足： $f(-\frac{1}{2}+a)<f(-\frac{1}{2})$


第三步：建立不等式并求解 因为 $a<0$ 且 $x\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$，此时对应的自变量均小于 $0$（或在负半轴讨论）。 利用 $x<0$ 时的解析式 $f(x)=-a{x}^2+x$： $-a(-\frac{1}{2}+a{)}^2+(-\frac{1}{2}+a)<-a(-\frac{1}{2}{)}^2-\frac{1}{2}$ 整理得： $-a(\frac{1}{4}-a+a^2)-\frac{1}{2}+a<-\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}$ $-\frac{1}{4}a+a^2-a^3+a<-\frac{1}{4}a$ $a^2-a^3+a<0$ 因为 $a<0$，两边同除以 $a$（改符号）： $a-a^2+1>0⟹a^2-a-1<0$ 解得 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<a<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 结合前提条件 $a<0$，得 $a\in \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2},0\right)$。

故正确答案为：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的平移变换与单调性的结合应用。

核心方法：“数形结合”。通过图象判定 $a$ 的正负范围可以极大地减少无效计算。

避坑指南：很多学生会遗漏 $a<0$ 的判定，或者在处理 $|x|$ 分段时由于自变量的正负号搞混解析式。记住平移量 $a$ 本身参与了坐标运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数的对称性、二次不等式的求根公式。

结论推广：对于递增函数，$f(x+a)<f(x)⟺a<0$。

方法推广：处理集包含问题 $B\subseteq A$，即“在区间 $B$ 上不等式恒成立”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-09 单-奇偶单调
• 2015-湖南卷文-08 单-奇偶单调
• 2014-上海卷文-20 解-反函数与奇偶性