2015-陕西卷文-15 填-极值切线

本题导读

$y^{\prime }=e^x(x+1)$，唯一极值点 $x=-1$，$y(-1)=-\frac{1}{e}$，切线水平：$y=-\frac{1}{e}$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 函数 $y=x{e}^x$ 在其极值点处的切线方程为 $\underline{}$ .

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$y^{\prime }=e^x(x+1)$，唯一极值点 $x=-1$，$y(-1)=-\frac{1}{e}$，切线水平：$y=-\frac{1}{e}$。

✅【答案】

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$y=-\frac{1}{e}$

✍【详细解析】

Abstract

由乘积求导法则，$y^{\prime }=e^x+x{e}^x=e^x(x+1)$。

因 $e^x>0$，令 $y^{\prime }=0$ 得唯一驻点 $x=-1$；$x<-1$ 时 $y^{\prime }<0$，$x>-1$ 时 $y^{\prime }>0$，故 $x=-1$ 是极小值点。

此时 $y(-1)=-e^{-1}=-\frac{1}{e}$，切线斜率 $y^{\prime }(-1)=0$（水平切线）。

故切线方程为 $y=-\frac{1}{e}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的运算法则；极值点处切线的特征（水平）

核心方法：”$y^{\prime }=0$ 定驻点 → 验左右变号 → 水平线”

避坑指南：①极值点处切线斜率为 0，切线是水平线 $y=\text{函数值}$，不要再写点斜式；②”$x=-1$ 是极值点”需验左右变号，只解 $y^{\prime }=0$ 不验不算极值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数几何意义的基础填空（doc 考点定位：导数的几何意义），“极值点处切线水平”是命题支点。

结论推广：一般地，可导函数在极值点 $x_0$ 处的切线为 $y=f(x_0)$（水平线）；反之水平切线的位置只须解 $f^{\prime }=0$ 并验证极值。

方法推广：切线方程题先判”是否为极值/驻点处”：驻点处直接写水平线，其余点用点斜式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练(Links)

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