2015-陕西卷文-24 解-绝对值柯西

本题导读

$\{\begin{array}{l}-a-b=2\\ -a+b=4\end{array}\Rightarrow a=-3,b=1$；$\sqrt{12-3t}+\sqrt{t}\le \sqrt{(3+1)((4-t)+t)}=4$，$t=1$ 时取等。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） （选修 4—5：不等式选讲）

已知关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x\mid 2<x<4\}$.

(1) 求实数 $a$，$b$ 的值；

(2) 求 $\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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$\{\begin{array}{l}-a-b=2\\ -a+b=4\end{array}\Rightarrow a=-3,b=1$；$\sqrt{12-3t}+\sqrt{t}\le \sqrt{(3+1)((4-t)+t)}=4$，$t=1$ 时取等。

✅【答案】

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(1) $a=-3$，$b=1$

(2) 最大值为 $4$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $|x+a|<b⟺-b<x+a<b⟺-a-b<x<-a+b$。

题设解集为 $2<x<4$，故 $\{\begin{array}{l}-a-b=2,\\ -a+b=4.\end{array}$ 两式相加、相减得 $a=-3$，$b=1$。

(2) 此时 $\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}=\sqrt{12-3t}+\sqrt{t}=\sqrt{3}\sqrt{4-t}+\sqrt{t}$，由根式有意义知 $0\le t\le 4$。

由柯西不等式，

$\sqrt{3}\sqrt{4-t}+1\cdot \sqrt{t}\le \sqrt{(3+1)\left[(4-t)+t\right]}=\sqrt{16}=4$。

当 $\sqrt{4-t}:\sqrt{t}=\sqrt{3}:1$，即 $t=1$ 时取等号。故最大值为 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式的解法；二维柯西不等式

核心方法：“解集端点列方程组”；“柯西配权 $(\sqrt{3},1)$ 与 $(\sqrt{4-t},\sqrt{t})$”

避坑指南：①解集是开区间，端点对应 $-a\pm b$ 时符号方向别反；②柯西取等的条件是 $\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{t}}{1}$，即 $t=1$，“配权系数平方和 3+1”是凑最大值 4 的关键；③$\sqrt{at+12}$ 有意义要求 $t\le 4$，范围要交代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：选修 4-5 的标准综合题（doc 考点定位：绝对值不等式、柯西不等式），“解集反求参数 + 柯西求最值”是本模块的固定双问。

结论推广：一般地，$\sum a_i{x}_i\le \sqrt{\sum a_i^2}\cdot \sqrt{\sum x_i^2}$；本题凑成 $\sqrt{3}\cdot \sqrt{4-t}+1\cdot \sqrt{t}$ 使 $\sum a_i^2=4$、$\sum x_i^2=4$ 恒定，最大值即 $4$。

方法推广：“根式和的最值”先配方成 $\sum a_i\sqrt{\text{线性}}$，再选权 $a_i$ 使平方和为常数，柯西一步出最值，最后写取等条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.03 柯西不等式

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-24 解-绝对值不等式
• 2016-全国卷II理-24
• 2014-陕西卷理-15 填-柯西不等式