2016-上海卷文-07 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与目标函数最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 若 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ y⩾0,\\ y⩾x+1,\end{array}$ 则 $x-2y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 在直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域（可行域）。
2. 目标函数 $z=x-2y$ 对应的直线的截距式为 $y=\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，通过上下平移直线在可行域内寻找取得最大值对应的顶点。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件对应的边界直线为：

1. $x=0$
2. $y=0$
3. $y=x+1$ 绘制可行域可知，该平面区域由直线 $x=0$、$y=0$ 及 $y=x+1$ 围成（在 $x\ge 0,y\ge 0,y\ge x+1$ 的区域内，注意当 $x=0$ 时 $y\ge 1$，即边界顶点由交点决定）。 联立边界求出可行域的顶点：

• 直线 $x=0$ 与 $y=x+1$ 的交点为 $(0,1)$。 观察目标函数 $z=x-2y$，其斜率为 $\frac{1}{2}$。为了使 $z$ 最大，即使纵截距 $-\frac{z}{2}$ 最小，在点 $(0,1)$ 处： 将 $x=0,y=1$ 代入目标函数得： $z=0-2(1)=-2$。 经检验，在顶点 $(0,1)$ 处取得最大值 $-2$. 故答案为 $-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划、目标函数最值。
2. 核心方法：图解法与顶点检验法。
3. 避坑指南：准确画出可行域的边界，防止因不等号方向看错而导致取错顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划常规填空题。
2. 结论推广：线性目标函数的最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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