2016-上海卷文-08 填-三角

本题导读

本题考查二倍角公式与三角方程，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 方程 $3\sin x=1+\cos 2x$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 上的解为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角公式将 $\cos 2x$ 转化为含 $\sin x$ 的表达式（$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$）。
2. 将方程化为关于 $\sin x$ 的一元二次方程，求解 $\sin x$ 的值。
3. 结合区间 $[0,2\pi ]$ 求出对应的角 $x$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

已知方程为 $3\sin x=1+\cos 2x$。 利用二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 代入上式： $3\sin x=1+(1-2{\sin }^{2}x)$ $3\sin x=2-2{\sin }^{2}x$ 移项化简得一元二次方程： $2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$ 因式分解： $(2\sin x-1)(\sin x+2)=0$。 因为 $-1\le \sin x\le 1$，所以 $\sin x=-2$ 无解。 故必有 $2\sin x-1=0⟹\sin x=\frac{1}{2}$。 在区间 $[0,2\pi ]$ 内，满足 $\sin x=\frac{1}{2}$ 的解为： $x=\frac{\pi }{6}$ 或 $x=\frac{5\pi }{6}$。 故答案为：$\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式、三角方程的解法。
2. 核心方法：换元或整体代入转化为一元二次方程求解。
3. 避坑指南：解出 $\sin x$ 的值后，注意检查是否超出 $[-1,1]$ 的范围，并在指定区间 $[0,2\pi ]$ 内找全所有解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角方程经典题型。
2. 结论推广：形如 $a\sin x+b\cos 2x=c$ 的方程通常通过二倍角公式统一化为关于 $\sin x$ 的二次方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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