2016-上海卷文-13 填-不等式

本题导读

本题考查二元一次方程组无解的条件、基本不等式求最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 设 $a>0,b>0$，若关于 $x,y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l}ax+y=1,\\ x+by=1,\end{array}$ 无解，则 $a+b$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 方程组无解的条件：对应两条直线平行但不重合。 写成直线方程斜截式或利用系数行列式：$\frac{a}{1}=\frac{1}{b}\ne \frac{1}{1}$（或常数项矛盾）。
2. 由 $\frac{a}{1}=\frac{1}{b}⟹ab=1$。
3. 结合 $a>0,b>0$ 及 $ab=1$，利用基本不等式求 $a+b$ 的取值范围。

✅【答案】

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$(2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

方程组 $\{\begin{array}{l}ax+y=1,\\ x+by=1,\end{array}$ 无解， 等价于两直线平行且不重合： $\frac{a}{1}=\frac{1}{b}\ne \frac{1}{1}$ 由此可得 $ab=1$，且 $a\ne 1$（当 $ab=1$ 时，若 $a=1,b=1$，方程组有无穷多解，故需排除 $a=1$）。 因为 $a>0,b>0$ 且 $ab=1$， 由基本不等式可得： $a+b\ge 2\sqrt{ab}=2\sqrt{1}=2$。 又因为 $a\ne 1$，当 $a=1$ 时 $b=1$，此时 $a+b=2$，这对应方程组有无穷多解（舍去）。 因此 $a+b>2$。 故答案为：$(2,+\infty )$（或 $\{t\mid t>2\}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次方程组无解条件、基本不等式。
2. 核心方法：系数比例判定与均值不等式。
3. 避坑指南：切勿遗漏“两条直线不重合”这一限制条件，当 $ab=1$ 且 $a=b=1$ 时方程组有无穷多解，故 $a+b$ 不能取到 2。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考代数综合填空题。
2. 结论推广：线性方程组无解等价于系数矩阵行列式为 0 且增广矩阵行列式不为 0。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

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• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式
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