2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于零点分段去绝对值，并利用最值解决”解集非空”的能成立问题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 已知函数 $f(x)=|x+1|-|x-2|$．

(1)求不等式 $f(x)\ge 1$ 的解集；

(2)若不等式 $f(x)\ge x^2-x+m$ 的解集非空，求 $m$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（去绝对值）：

• 找到绝对值的零点：$x=-1$ 和 $x=2$。
• 分三个区间：$x\le -1$、$-1<x<2$、$x\ge 2$ 讨论 $f(x)$ 的解析式。
• 在各区间内解简单的一元一次不等式。

2. 第二问（能成立问题）：

• 转化逻辑：不等式 $f(x)\ge x^2-x+m$ 有解，等价于 $m\le [f(x)-x^2+x{]}_{\max }$。
• 构造新函数：令 $g(x)=f(x)-x^2+x$，求出 $g(x)$ 在不同区间的二次函数表达式。
• 求最大值：分别求出 $g(x)$ 在三个区间内的最大值，全局最大值即为 $m$ 的上限。

✅【答案】

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(1) $\{x\mid x\ge 1\}$

(2) $\left(-\infty ,\frac{5}{4}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 首先对 $f(x)$ 进行分段讨论： $f(x)=\{\begin{array}{ll}-(x+1)-[-(x-2)]=-3,& x\le -1\\ (x+1)-[-(x-2)]=2x-1,& -1<x<2\\ (x+1)-(x-2)=3,& x\ge 2\end{array}$ 当 $f(x)\ge 1$ 时：

• ① 若 $x\le -1$，$-3\ge 1$ 不成立；
• ② 若 $-1<x<2$，$2x-1\ge 1\Rightarrow x\ge 1$，故 $1\le x<2$；
• ③ 若 $x\ge 2$，$3\ge 1$ 恒成立，故 $x\ge 2$。 综上所述，$f(x)\ge 1$ 的解集为 $\{x\mid x\ge 1\}$。

(2)解： 不等式 $f(x)\ge x^2-x+m$ 可变形为 $m\le f(x)-x^2+x$。 设 $g(x)=f(x)-x^2+x$，则 $m\le g(x{)}_{\max }$。 由(1)可知： $g(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+x-3,& x\le -1\\ -x^2+3x-1,& -1<x<2\\ -x^2+x+3,& x\ge 2\end{array}$

• ① 当 $x\le -1$ 时，$g(x)=-(x-\frac{1}{2}{)}^2-\frac{11}{4}$。在区间内单调递增，$g(x{)}_{\max }=g(-1)=-5$。
• ② 当 $-1<x<2$ 时，$g(x)=-(x-\frac{3}{2}{)}^2+\frac{5}{4}$。对称轴 $x=\frac{3}{2}$ 在区间内，$g(x{)}_{\max }=g(\frac{3}{2})=\frac{5}{4}$。
• ③ 当 $x\ge 2$ 时，$g(x)=-(x-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{13}{4}$。在区间内单调递减，$g(x{)}_{\max }=g(2)=1$。 比较各段最大值可知，$g(x)$ 的全局最大值为 $\frac{5}{4}$。 因此，$m$ 的取值范围是 $(-\infty ,\frac{5}{4}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 零点分段法：解决绝对值问题的通用模板。关键在于讨论区间时要做到不重不漏。
• 能成立 vs 恒成立：
• “解集非空”（能成立）：只需 $m$ 小于等于最大值。
• “恒成立”：则需 $m$ 小于等于最小值。
• 二次函数区间最值：注意对称轴与给定区间的相对位置，这是此类问题的核心得分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考选考”不等式选讲”常规题。

2. 结论推广：绝对值不等式”解集非空”（能成立）等价于 $m\le g(x{)}_{\max }$，“恒成立”等价于 $m\le g(x{)}_{\min }$。

3. 方法推广：解绝对值不等式用零点分段法，做到不重不漏。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-01 填-绝对值不等式
• 2010-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2011-新课标卷文-24 解-绝对值不等式