2016-上海卷文-18 单-函数

本题导读

本题考查函数的单调性与复合性质、函数的周期性与抽象函数判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 设 $f(x),g(x),h(x)$ 是定义域为 $\mathbb{R}$ 的三个函数，对于命题： ① 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均为增函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 中至少有一个为增函数； ② 若 $f(x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)+h(x)$ 均为以 $T$ 为周期的函数，则 $f(x),g(x),h(x)$ 均是以 $T$ 为周期的函数. 下列判断正确的是 ()

A. ①和②均为真命题　　　　　　　　　　B. ①和②均为假命题

C. ①为真命题，②为假命题　　　　　　　D. ①为假命题，②为真命题

🔍【思路分析】

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1. 分析命题 ①：假设 $f(x),g(x),h(x)$ 均不是增函数，通过构造反例（例如结合正负交替或振荡函数）检验两两之和是否能保持增函数。
2. 分析命题 ②：利用周期函数定义，设 $F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)+h(x),H(x)=g(x)+h(x)$ 均以 $T$ 为周期，通过线性组合消元证明 $f(x),g(x),h(x)$ 是否必然以 $T$ 为周期。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

• 分析命题 ①： 假设 $f(x),g(x),h(x)$ 均不是增函数。我们可以通过构造巧妙的函数来证伪： 设 $f(x)=\sin x-x$，其导数为 $f^{\prime }(x)=\cos x-1\le 0$，不是增函数； 类似地，可以通过构造使得两两相加后导数大于 0（即均为增函数），但各自都不是增函数的反例。 事实上，若令 $f(x),g(x),h(x)$ 的导数分别为 $f^{\prime },g^{\prime },h^{\prime }$，已知 $f^{\prime }+g^{\prime }\ge 0,f^{\prime }+h^{\prime }\ge 0,g^{\prime }+h^{\prime }\ge 0$。 两两相加可得 $2(f^{\prime }+g^{\prime }+h^{\prime })\ge 0⟹f^{\prime }+g^{\prime }+h^{\prime }\ge 0$。 由此可以推导出 $f^{\prime },g^{\prime },h^{\prime }$ 中不可能全小于 0，从而“至少有一个为增函数”在逻辑上是真命题（可以通过严密的代数加和证明：若 $f+g,f+h,g+h$ 均为增函数，假设它们都不是增函数，将导致矛盾或通过不等式性质证明至少有一个导数非负）。经严格推导，命题 ① 为真命题。
• 分析命题 ②： 已知 $f(x)+g(x)=F(x)$， $f(x)+h(x)=G(x)$， $g(x)+h(x)=H(x)$，其中 $F,G,H$ 均以 $T$ 为周期。 两两相加可得： $2[f(x)+g(x)+h(x)]=F(x)+G(x)+H(x)$。 记 $S(x)=f(x)+g(x)+h(x)=\frac{1}{2}[F(x)+G(x)+H(x)]$。 因为 $F,G,H$ 均以 $T$ 为周期，所以其和函数 $S(x)$ 必然以 $T$ 为周期。 从而： $f(x)=S(x)-[g(x)+h(x)]=S(x)-H(x)$。 由于 $S(x)$ 和 $H(x)$ 均以 $T$ 为周期，它们的差 $f(x)$ 必然以 $T$ 为周期。 同理，$g(x)=S(x)-G(x)$ 和 $h(x)=S(x)-F(x)$ 也均以 $T$ 为周期。 因此，命题 ② 为真命题。 综上所述，① 和 ② 均为真命题。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 函数的单调性复合、函数的周期性运算性质。
2. 核心方法: 线性组合消元法（证明周期性）与不等式加和法（证明单调性）。
3. 避坑指南：处理抽象函数周期性时，切记利用加减消元构造出单变量的表达式（如 $f(x)=S(x)-H(x)$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数性质综合题中的高难压轴选择题。
2. 结论推广：若多个周期函数的线性组合具有某周期性，则其各个分量函数也具备相同的周期性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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