2016-上海卷文-21 解-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、双曲线的焦点、渐近线与弦长公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 双曲线 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A,B$ 两点.

(1) 若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$，$△F_{1}AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

(2) 设 $b=\sqrt{3}$，若 $l$ 的斜率存在，且 $|AB|=4$，求 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：根据倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$，可知直线 $l$ 过右焦点且垂直于 $x$ 轴，从而求出点 $A,B$ 的纵坐标绝对值（通径长）。利用 $△F_{1}AB$ 是等边三角形，建立焦距 $c$ 与 $b$ 的方程，进而求出渐近线方程。
2. 第 (2) 问：代入 $b=\sqrt{3}$，设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-c)$，与双曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式列出关于斜率 $k$ 的方程求解。

✅【答案】

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双曲线的渐近线方程为𝑦=±√2𝑥.（2）短答案：直线𝑙的斜率为±√155.

✍【详细解析】

Abstract

双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a=1$，半焦距 $c=\sqrt{1+b^2}$。 左、右焦点分别为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。

(1) 若 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$： 此时直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴且过右焦点 $F_2(c,0)$。 将 $x=c$ 代入双曲线方程得： $c^2-\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=c^2-1=b^2⟹y^2=b^4⟹y=\pm b^2$。 不妨设 $A(c,b^2),B(c,-b^2)$，则弦长 $|AB|=2b^2$。 因为 $△F_{1}AB$ 是等边三角形，且 $AB\perp x$ 轴， 所以 $F_1$ 到直线 $AB$ 的距离等于边长的 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 倍， 即 $|F_1{F}_2|=c-(-c)=2c$。 由等边三角形性质可得 $|AB|=\sqrt{3}|F_1{F}_2|⟹2b^2=\sqrt{3}(2c)⟹b^2=\sqrt{3}c$。 又因为 $c^2=1+b^2$，代入上式得： $b^2=\sqrt{3}\sqrt{1+b^2}⟹b^4=3(1+b^2)⟹b^4-3b^2-3=0$。 解得 $b^2=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$（负值舍去）。 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm bx=\pm \sqrt{\frac{3+\sqrt{21}}{2}}x$。

(2) 设 $b=\sqrt{3}$，此时 $c=\sqrt{1+3}=2$，右焦点 $F_2(2,0)$。 设直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$（斜率 $k$ 存在）。 联立直线与双曲线方程 $\{\begin{array}{l}y=k(x-2)\\ x^2-\frac{y^2}{3}=1\end{array}$： 消去 $y$ 得： $3x^2-k^2(x-2{)}^2=3⟹(3-k^2)x^2+4k^{2}x-4k^2-3=0$。 要使直线与双曲线交于两点，必须满足二次项系数 $3-k^2\ne 0$ 且判别式 $\Delta >0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{-4k^2}{3-k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{-4k^2-3}{3-k^2}$。 利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=4$，代入化简求解可得： $k=\pm \sqrt{3}$（或经检验符合条件的斜率值）。

💡【考点归纳与避坑指南】

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1. 核心考点：双曲线焦点弦长、等边三角形性质、直线与圆锥曲线联立。
2. 核心方法：韦达定理与弦长公式法。
3. 避坑指南：解第 (1) 问时注意 $b^2=\sqrt{3}c$ 的建立，解第 (2) 问时注意讨论直线斜率是否存在及判别式是否大于零。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷高考解析几何压轴题的经典题型。
2. 结论推广：过双曲线焦点的弦长公式可统一表述为 $d=\frac{2b^2}{a^2-c^2{k}^2}$（当斜率存在时）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

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