2017-全国卷III理-05 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及椭圆的几何性质。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的一条渐近线方程为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，且与椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 有公共焦点.则 $C$ 的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{10}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

C. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析渐近线：双曲线焦点在 $x$ 轴上，其渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。结合已知条件可得 $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$。
2. 确定椭圆焦点：由椭圆方程 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$ 可知其半焦距 $c^2=a_{\text{椭}}^2-b_{\text{椭}}^2=12-3=9$，故焦点坐标为 $(\pm 3,0)$。
3. 建立方程组：双曲线与椭圆共焦点，说明双曲线的 $c^2=a^2+b^2=9$。联立关于 $a,b$ 的方程组求解即可。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：利用渐近线建立 $a,b$ 的关系 双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 由已知一条渐近线为 $y=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，得： $\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow b=\frac{\sqrt{5}}{2}a\Rightarrow b^2=\frac{5}{4}{a}^2$

第二步：计算公共焦点 对于椭圆 $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$，其长半轴平方为 12，短半轴平方为 3。 焦距 $c^2=12-3=9$。 故双曲线的 $c^2=a^2+b^2=9$。

第三步：求解 $a^2,b^2$ 将 $b^2=\frac{5}{4}{a}^2$ 代入 $a^2+b^2=9$： $a^2+\frac{5}{4}{a}^2=9\Rightarrow \frac{9}{4}{a}^2=9\Rightarrow a^2=4$ 则 $b^2=\frac{5}{4}\times 4=5$。 所以双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 共焦曲线的特征：椭圆与双曲线共焦点时，它们的 $c$ 值相等。注意椭圆中 $a^2=b^2+c^2$，而双曲线中 $c^2=a^2+b^2$。
• 渐近线方程形式：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$；焦点在 $y$ 轴上时则为 $\pm \frac{a}{b}$。
• 比例法技巧：在已知比例和平方和的情况下，设 $a=2k,b=\sqrt{5}k$ 代入 $c^2$ 计算会更简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 概念区分：共渐近线 若题目改为“与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 共渐近线”，则可设所求双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\lambda$ ($\lambda \ne 0$)。

2. 离心率的关联： 本题中双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。渐近线斜率 $k$ 与离心率 $e$ 的关系为 $k^2=e^2-1$。 验证：$(\frac{\sqrt{5}}{2}{)}^2=\frac{5}{4}$，$(\frac{3}{2}{)}^2-1=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}$，符合规律。

3. 易错警示： 学生在计算 $c^2$ 时，容易混淆椭圆与双曲线的 $a,b,c$ 关系，建议在草稿纸上分别列出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线