2016-上海卷理-06 填-线面位置

本题导读

本题考查正四棱柱的性质、直线与平面所成的角（线面角），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 如图，在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，底面 $ABCD$ 的边长为 $3$，$B{D}_1$ 与底面所成的角的大小为 $\arctan \frac{2}{3}$，则该正四棱柱的高等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找线面角：由于 $D_{1}D\perp$ 底面 $ABCD$，所以直线 $B{D}_1$ 在底面上的投影为直线 $BD$。
2. 确定平面角：根据线面角的定义，直线 $B{D}_1$ 与底面所成的角即为 $\angle D_{1}BD$。
3. 计算底面对角线：底面是边长为 $3$ 的正方形，通过勾股定理求出 $BD$ 的长度。
4. 列式求解：在 $Rt△D_{1}DB$ 中，已知 $\tan \angle D_{1}BD=\frac{2}{3}$，利用正切定义 $\tan \angle D_{1}BD=\frac{D_{1}D}{BD}$ 求出高 $D_{1}D$。

✅【答案】

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$2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定几何关系： 连接 $BD$。在正四棱柱中，$D_{1}D\perp$ 平面 $ABCD$。 因此，$BD$ 是 $B{D}_1$ 在底面 $ABCD$ 内的投影。 故 $\angle D_{1}BD$ 为直线 $B{D}_1$ 与底面所成的角。 由题意知，$\tan \angle D_{1}BD=\frac{2}{3}$。

2. 计算底边长： 底面 $ABCD$ 是边长为 $3$ 的正方形， 所以 $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。

3. 求解高： 在 $Rt△D_{1}DB$ 中， $\frac{D_{1}D}{BD}=\tan \angle D_{1}BD=\frac{2}{3}$。 则 $D_{1}D=BD\cdot \frac{2}{3}=3\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}=2\sqrt{2}$。 即该正四棱柱的高为 $2\sqrt{2}$。

故答案为 $2\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 线面角的定义：直线与其在平面内的投影所成的锐角。

• 正四棱柱的特征：底面是正方形，侧棱垂直于底面。

• 反三角函数的理解：$\theta =\arctan \frac{2}{3}$ 等价于 $\tan \theta =\frac{2}{3}$（由于是线面角，$\theta \in [0,\pi /2]$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 空间距离计算：若本题要求 $B{D}_1$ 的长度，可以利用勾股定理 $B{D}_1=\sqrt{B{D}^2+D_1{D}^2}=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{18+8}=\sqrt{26}$。
• 变式思考：若将条件改为侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 与底面所成的角，该角为多少度？（答案：$90^{\circ }$，因为正棱柱侧面与底面垂直）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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