2016-上海卷理-09 填-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理、正弦定理，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 已知 $△ABC$ 的三边长分别为 $3,5,7$，则该三角形的外接圆半径等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求余弦值：已知三边 $a,b,c$，选用余弦定理求出一个角（建议选最大边 $7$ 所对的角 $C$）的余弦值 $\cos C$。
2. 转正弦值：利用 ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$（且三角形内角正弦值恒正）求出 $\sin C$。
3. 求半径 $R$：利用正弦定理公式 $\frac{c}{\sin C}=2R$，代入已知量求解 $R$。

✅【答案】

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$\frac{7\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 利用余弦定理求角： 设 $a=3,b=5,c=7$，其对角分别为 $A,B,C$。 由余弦定理得： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\times 3\times 5}$ $\cos C=\frac{9+25-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$

2. 计算正弦值： 因为 $C\in (0,\pi )$，所以 $\sin C>0$。 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-(-\frac{1}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 计算外接圆半径： 根据正弦定理： $2R=\frac{c}{\sin C}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$ $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$

故答案为 $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 余弦定理的应用：当已知三角形三边时，余弦定理是求角度（或余弦值）的首选工具。
• 正弦定理与半径：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 是联系三角形元素与外接圆半径的唯一桥梁。
• 特殊角意识：计算出 $\cos C=-1/2$ 时，应敏锐察觉到 $C=120^{\circ }$，这能加快做题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 面积法求解：还可以先用海伦公式求面积 $S$，再利用公式 $R=\frac{abc}{4S}$ 计算。
  • 半周长 $p=\frac{3+5+7}{2}=7.5$。
  • $S=\sqrt{7.5\times 4.5\times 2.5\times 0.5}=\frac{15\sqrt{3}}{4}$。
  • $R=\frac{3\times 5\times 7}{4\times \frac{15\sqrt{3}}{4}}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。
• 结论推广：三边为 $3,5,7$ 的三角形是一个非常经典的鈍角三角形，其最大角恒为 $120^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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