2016-上海卷理-19 解-体积

本题导读

本题考查圆柱的性质（底面、母线、高）、弧长公式与圆心角。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 将边长为 $1$ 的正方形 $A{A}_1{O}_{1}O$（及其内部）绕的 $O{O}_1$ 旋转一周形成圆柱，如图，$\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}$ 长为 $\frac{2}{3}\pi$，$\stackrel{⌢}{A_1{B}_1}$ 长为 $\frac{\pi }{3}$，其中 $B_1$ 与 $C$ 在平面 $A{A}_1{O}_{1}O$ 的同侧.

(1)求三棱锥 $C-O_1{A}_1{B}_1$ 的体积；

(2)求异面直线 $B_{1}C$ 与 $A{A}_1$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 基本参数确定：由旋转形成圆柱的过程可知，圆柱的高 $h=O{O}_1=1$，底面半径 $r=OA=1$。
2. 第一问（体积）：

• 三棱锥 $C-O_1{A}_1{B}_1$ 的顶点到平面的距离（高）即为圆柱的高 $h=1$（注意底面选 $△O_1{A}_1{B}_1$）。
• 利用弧长公式 $l=r\theta$ 求出圆心角 $\angle A_1{O}_1{B}_1$。
• 计算 $△O_1{A}_1{B}_1$ 的面积，代入体积公式 $V=\frac{1}{3}Sh$。

3. 第二问（异面直线角）：

• $A{A}_1$ 是母线，垂直于底面。
• 将 $A{A}_1$ 平移至过 $B_1$ 的母线 $B_{1}B$（$B$ 在下底面），则 $\angle C{B}_{1}B$ 即为所求。
• 在 $Rt△C{B}_{1}B$ 中求解，关键是确定 $CB$ 的长度（通过底面圆心角 $\angle COB$）。

✅【答案】

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$（1）\surd 312.（2）\pi 4.$

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）由题意可知，圆柱的高 $h=1$，底面半径 $r=1$。 在顶面圆 $O_1$ 中，弧 $\stackrel{⌢}{A_1{B}_1}$ 的长度为 $\frac{\pi }{3}$，底面半径为 $1$， 根据弧长公式 $l=r\theta$，得圆心角 $\angle A_1{O}_1{B}_1=\frac{\pi }{3}$。 则 $△O_1{A}_1{B}_1$ 的面积为： $S_{△O_1{A}_1{B}_1}=\frac{1}{2}\cdot O_1{A}_1\cdot O_1{B}_1\cdot \sin \angle A_1{O}_1{B}_1=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 三棱锥 $C-O_1{A}_1{B}_1$ 的高为 $O{O}_1=1$。 故体积 $V_{C-O_1{A}_1{B}_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{△O_1{A}_1{B}_1}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 1=\frac{\sqrt{3}}{12}$。

（2）设过点 $B_1$ 的母线与下底面交于点 $B$。 因为 $A{A}_1\parallel B{B}_1$，所以异面直线 $B_{1}C$ 与 $A{A}_1$ 所成的角即为直线 $B_{1}C$ 与 $B{B}_1$ 所成的角，即 $\angle C{B}_{1}B$（或其补角）。 在底面圆 $O$ 中，$\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}=\frac{2\pi }{3}⟹\angle AOC=\frac{2\pi }{3}$。 又因为 $B_1,B$ 分别是 $A_1,A$ 绕轴旋转得到的，由于旋转同步性，且 $B_1$ 与 $C$ 同侧， $\angle AOB=\angle A_1{O}_1{B}_1=\frac{\pi }{3}$。 则 $\angle COB=\angle AOC-\angle AOB=\frac{2\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}$。 在底面 $△COB$ 中，$OC=OB=1$ 且 $\angle COB=\frac{\pi }{3}$，故 $△COB$ 为等边三角形，则 $CB=1$。 因为母线 $B{B}_1\perp$ 底面 $ABC$，所以 $B{B}_1\perp CB$。 在 $Rt△C{B}_{1}B$ 中，$B{B}_1=1,CB=1$， 则 $\tan \angle C{B}_{1}B=\frac{CB}{B{B}_1}=1$，得 $\angle C{B}_{1}B=\frac{\pi }{4}$。 所以异面直线 $B_{1}C$ 与 $A{A}_1$ 所成的角的大小为 $\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 母线性质：圆柱的母线平行且相等，均垂直于底面。这一性质是平移异面直线求角度的核心。
• 等积变形意识：在计算 $V_{C-O_1{A}_1{B}_1}$ 时，将 $C$ 看作顶点，底面选在 $O_1$ 圆内，计算最简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 建系法求解：本题亦可建立空间直角坐标系。以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴，$O{O}_1$ 为 $z$ 轴，求出 $B_1,C$ 的坐标，利用向量夹角公式求解。对于复杂的空间角问题，建系法往往更具普适性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$（1）\surd 312.（2）\pi 4.$

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2015-新课标I卷文-06 单-圆锥体积
• 2015-新课标II卷文-10 单-球与体积

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