2015-新课标II卷文-10 单-球与体积

本题导读

三棱锥体积最值。$△OAB$ 是等腰直角三角形（两腰都是球半径），底面定了；$C$ 到平面 $OAB$ 的最大距离恰为半径 $R$，代入体积公式即可求 $R$。

📌【题干】

Question

（2015年新课标II卷(文)） 已知 $A,B$ 是球 $O$ 的球面上两点，$\angle AOB=90^{\circ }$，$C$ 为该球面上的动点.若三棱锥 $O-ABC$ 体积的最大值为 $36$，则球 $O$ 的表面积为 ()

A. $36\pi$　　　　　　B. $64\pi$　　　　　　C. $144\pi$　　　　　　D. $256\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $O$ 为顶点、$△OAB$ 为底面：$OA=OB=R$，$\angle AOB=90^{\circ }$，故底面面积 $=\frac{1}{2}{R}^2$。
2. $C$ 在球面上，它到平面 $OAB$ 的距离最大为 $R$。
3. 用 $V_{\max }=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{R}^2\cdot R=36$ 解 $R$，再代球的表面积公式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设球 $O$ 的半径为 $R$，则 $OA=OB=OC=R$.

取 $△OAB$ 为底面。因为 $\angle AOB=90^{\circ }$，所以

$S_{△OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}{R}^2.$

点 $C$ 在球面上，它到平面 $OAB$ 的距离最大不超过球半径，且在球上可以取到，故该距离的最大值为 $R$.

于是三棱锥 $O-ABC$ 体积的最大值

$V_{\max }=\frac{1}{3}\cdot S_{△OAB}\cdot R=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}{R}^2\cdot R=\frac{R^3}{6}.$

由 $\frac{R^3}{6}=36$ 得 $R^3=216$，故 $R=6$.

所以球 $O$ 的表面积

$S=4\pi R^2=4\pi \times 36=144\pi .$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三棱锥体积公式与最值；球面点到平面的最大距离。

2. 核心方法：“顶点在球面上、底面过球心”时，体积最大值由”底面面积 $\times$ 半径 $÷3$“确定，把几何最值直接变成代数方程。

3. 避坑指南：① $C$ 到平面 $OAB$ 的最大距离是 $R$ 而不是 $2R$，别把球的直径当高度；② 题目问的是球的表面积不是体积，算完 $R$ 后别记错公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：球与多面体的组合、体积最值是新课标Ⅱ卷立体几何小题的常见形态（2015 年理科卷第 9 题也考球面与体积）。

2. 结论推广: 一般地，若顶点在球面上、底面三点也在球面上且所在平面过球心，则体积最大值由”底面面积 $\times$ 半径 $÷3$“确定；若 $\angle AOB=\theta$，底面面积为 $\frac{1}{2}{R}^2\sin \theta$，最大值在 $\theta =90^{\circ }$ 时取得。

3. 方法推广: 几何最值三步：① 找出”哪个量在变”；② 判断该量变化时的上（下）界由什么几何位置决定；③ 把最值位置翻译成方程求解。球与多面体组合题，高度往往直接等于球半径，这是最常见的突破口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷理-9
• 2016-全国卷III理-10