2016-全国卷I文-04 单-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理、解三角形，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.已知 $a=\sqrt{5},c=2,\cos A=\frac{2}{3}$，则 $b=$ ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 根据已知条件，选用含有边 $a,c,b$ 及角 $A$ 的余弦定理公式。
2. 代入数据列出关于 $b$ 的方程并求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$， 代入 $a=\sqrt{5},c=2,\cos A=\frac{2}{3}$ 得： $(\sqrt{5}{)}^2=b^2+2^2-2\cdot b\cdot 2\cdot \frac{2}{3}$， $5=b^2+4-\frac{8}{3}b$， 整理得：$3b^2-8b-3=0$， 因式分解得：$(3b+1)(b-3)=0$， 解得 $b=3$ 或 $b=-\frac{1}{3}$（舍去）。 故 $b=3$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的应用。
2. 核心方法：代入方程求解法。
3. 避坑指南：解二次方程时注意结合边长必须为正数的条件检验并舍根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形常规计算题。
2. 结论推广：已知两边及一夹角余弦值，可利用余弦定理求第三边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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