2016-全国卷I文-11 单-面面垂直

本题导读

本题考查正方体中的面面平行与线面关系、空间两直线的夹角，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 平面 $\alpha$ 过正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的顶点 $A$，$\alpha \parallel \text{平面 }C{B}_1{D}_1$，$\alpha \cap \text{平面 }ABCD=m$，$\alpha \cap \text{平面 }AB{B}_1{A}_1=n$，则 $m,n$ 所成角的正弦值为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 因为 $\alpha \parallel \text{平面 }C{B}_1{D}_1$ 且平面 $\alpha$ 过点 $A$，根据面面平行的性质，平面 $\alpha$ 与各个面的交线相互平行。
2. 确定直线 $m$（平面 $\alpha$ 与底面 $ABCD$ 的交线）和直线 $n$（平面 $\alpha$ 与侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 的交线）的方向，由于 $\alpha \parallel \text{平面 }C{B}_1{D}_1$，所以 $m\parallel BD$，$n\parallel A{B}_1$。
3. 求出直线 $BD$ 与 $A{B}_1$ 所成角的正弦值即为 $m$ 和 $n$ 所成的角。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为平面 $\alpha \parallel \text{平面 }C{B}_1{D}_1$，且平面 $\alpha$ 与平面 $ABCD$ 相交于直线 $m$，平面 $C{B}_1{D}_1$ 与平面 $ABCD$ 平行（由正方体性质知平面 $ABCD\parallel \text{平面 }{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$，而 $C{B}_1{D}_1$ 与底面平行由几何关系可得其截线平行于 $BD$）。 具体地，由面面平行的性质定理可得： $m\parallel BD$，且 $n\parallel A{B}_1$。 因此，直线 $m$ 和 $n$ 所成的角等于直线 $BD$ 与 $A{B}_1$ 所成的角。 在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，连接 $A{D}_1$ 和 $D_{1}B$。 由于 $AB\parallel A_1{B}_1$ 且 $AB=A_1{B}_1$，可知四边形 $AB{B}_1{A}_1$ 为正方形， 在 $△A{B}_{1}D$ 中，三条边分别为：

• $A{B}_1$ 为面对角线，设正方体棱长为 $1$，则 $A{B}_1=\sqrt{2}$；
• $BD$ 为底面体对角线（的对角线），$BD=\sqrt{2}$；
• $A{D}_1$ 为面对角线，$A{D}_1=\sqrt{2}$。 因此 $△A{B}_{1}D$ 是边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形。 故直线 $A{B}_1$ 与 $BD$ 的夹角为 $60^{\circ }$。 其正弦值为 $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面平行的性质、异面直线（或相交直线）夹角的求法。
2. 核心方法：平移转化法（将交线转化为正方体面对角线）。
3. 避坑指南：准确理解面面平行的截线平行性质，找准交线 $m$ 和 $n$ 的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何中空间角的计算经典题。
2. 结论推广：正方体中面对角线与体对角线构成的几何图形多具有对称性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-19 解-面面垂直
• 2017-全国卷II文-18 解-线面平行
• 2017-全国卷I文-06 单-线面平行

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