2016-全国卷I文-12 单-导数

本题导读

本题考查导数与函数的单调性、恒成立问题与二次不等式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 若函数 $f(x)=x-\frac{1}{3}\sin 2x+a\sin x$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递增，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $[-1,1]$　　B. $\left[-1,\frac{1}{3}\right]$　　C. $\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$　　D. $\left[-1,-\frac{1}{3}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递增，等价于其导函数 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 恒成立。
2. 求导得到关于 $\cos x$ 的二次不等式或三角恒等式，利用换元法转化为二次函数在闭区间上的恒成立问题。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对函数求导得： $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{3}\cdot 2\cos 2x+a\cos x=1-\frac{2}{3}(2{\cos }^{2}x-1)+a\cos x$ $=1-\frac{4}{3}{\cos }^{2}x+\frac{2}{3}+a\cos x=-\frac{4}{3}{\cos }^{2}x+a\cos x+\frac{5}{3}$。 因为函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递增， 所以 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立， 即 $-\frac{4}{3}{\cos }^{2}x+a\cos x+\frac{5}{3}\ge 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立。 令 $t=\cos x$，因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。 设二次函数 $g(t)=-\frac{4}{3}{t}^2+at+\frac{5}{3}$，则 $g(t)\ge 0$ 在 $t\in [-1,1]$ 上恒成立。 这等价于二次函数在闭区间 $[-1,1]$ 上的最小值大于等于 0： 即 $\{\begin{array}{l}g(-1)\ge 0\\ g(1)\ge 0\end{array}$ 分别代入计算：

1. $g(-1)=-\frac{4}{3}(-1{)}^2+a(-1)+\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}-a+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}-a\ge 0⟹a\le \frac{1}{3}$；
2. $g(1)=-\frac{4}{3}(1{)}^2+a(1)+\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}+a+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}+a\ge 0⟹a\ge -\frac{1}{3}$。 （注：对称轴 $t=-\frac{a}{2(-4/3)}=\frac{3a}{8}$，当其落在 $[-1,1]$ 内时极值最大，但由于抛物线开口向下，只需保证两端点值大于等于 0 即可全面确保区间内恒成立）。 联立得 $-\frac{1}{3}\le a\le \frac{1}{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与单调性关系、恒成立问题、二次函数在闭区间上的最值。
2. 核心方法：换元法转化为二次不等式恒成立。
3. 避坑指南：注意余弦函数的取值范围为 $[-1,1]$，换元后需将求 $\mathbb{R}$ 上的恒成立转化为求闭区间上的恒成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考导数压轴题中的常见转化模型。
2. 结论推广：形如 $A{\cos }^{2}x+B\cos x+C\ge 0$ 恒成立问题常通过换元转化为二次函数闭区间最值问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)