2016-全国卷I文-23 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y=1+a\sin t\end{array}$ ($t$ 为参数，$a>0$).在以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 $C_2:\rho =4\cos \theta$.

(1)说明 $C_1$ 是哪种曲线，并将 $C_1$ 的方程化为极坐标方程；

(2)直线 $C_3$ 的极坐标方程为 $\theta ={\alpha }_0$，其中 ${\alpha }_0$ 满足 $\tan {\alpha }_0=2$.若曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共点都在 $C_3$ 上，求 $a$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（方程互化）：

• 直角坐标：利用 ${\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$ 消去参数 $t$，得到 $x^2+(y-1{)}^2=a^2$。识别出这是圆。
• 极坐标：利用 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$ 进行代换。

2. 第二问（求解参数）：

• 转化 $C_2,C_3$：将 $C_2$ 化为直角坐标方程 $x^2+y^2-4x=0$。将 $C_3$ 化为直角坐标方程 $y=2x$。
• 核心逻辑：若两个圆的公共点都在直线上，说明该直线就是这两个圆的公共弦所在的直线。
• 求公共弦：将两个圆的直角坐标一般方程相减，消去二次项，得到的线性方程即为公共弦方程。
• 建立等式：令求出的公共弦方程与 $y=2x$ 重合（系数成比例），从而解出 $a$。

✅【答案】

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𝐶1是圆心为(0,1)、半径为𝑎的圆，极坐标方程为𝜌2−2𝜌sin𝜃+1−𝑎2=0；𝑎=1.

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由 $C_1:\{\begin{array}{l}x=a\cos t\\ y-1=a\sin t\end{array}$，两式平方相加得： $x^2+(y-1{)}^2=a^2{\cos }^{2}t+a^2{\sin }^{2}t=a^2$。 所以 $C_1$ 是以 $(0,1)$ 为圆心，$a$ 为半径的圆。 将其化为一般式：$x^2+y^2-2y+1-a^2=0$。 代入 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 及 $y=\rho \sin \theta$，得到 $C_1$ 的极坐标方程为： ${\rho }^2-2\rho \sin \theta +1-a^2=0$。

(2)对于 $C_2:\rho =4\cos \theta$，两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=4\rho \cos \theta$。 化为直角坐标方程为：$x^2+y^2-4x=0$ … ① 由 $C_3:\theta ={\alpha }_0$ 且 $\tan {\alpha }_0=2$，得 $C_3$ 的直角坐标方程为： $y=2x$ … ② 因为 $C_1,C_2$ 的公共点都在 $C_3$ 上，所以 $y=2x$ 是 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦所在直线的方程。 由 $C_1$ 的直角坐标方程 $x^2+y^2-2y+1-a^2=0$ 与 ① 相减得： $(x^2+y^2-2y+1-a^2)-(x^2+y^2-4x)=0$ 整理得：$4x-2y+1-a^2=0$，即 $y=2x+\frac{1-a^2}{2}$。 由于该直线即为 $y=2x$， 所以 $\frac{1-a^2}{2}=0⟹a^2=1$。 又已知 $a>0$，故 $a=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公共弦定理：若两圆方程分别为 $O_1:f(x,y)=0$ 和 $O_2:g(x,y)=0$（二次项系数均为1），则 $f(x,y)-g(x,y)=0$ 即为公共弦所在直线。
• 极坐标转换技巧：遇到 $\rho =k\cos \theta$ 或 $\rho =k\sin \theta$，习惯性两边同乘 $\rho$ 即可快速转为直角坐标下的圆方程。
• 选修 4-4 的题目通常逻辑清晰，计算量适中，是高考卷中必须拿稳的 10 分。注意参数 $a>0$ 这一细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若直线 $C_3$ 与两圆相切，求 $a$ 的值。
2. 知识关联：本题综合了圆的各种方程形式，考查了坐标转换这一核心数学素养。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-全国卷III文-22 解-参数方程
• 2017-全国卷III理-22 解-参数方程

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