2016-全国卷I理-11 单-立体几何

本题导读

本题考查平面平行的性质、空间中直线的位置关系（异面直线所成的角），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 平面 $\alpha$ 过正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的顶点 $A$，$\alpha //\text{平面 }C{B}_1{D}_1$，$\alpha \cap \text{平面 }ABCD=m$，$\alpha \cap \text{平面 }AB{B}_1{A}_1=n$，则 $m,n$ 所成角的正弦值为 ()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 确定交线 $m$ 的方向：因为 $\alpha //\text{平面 }C{B}_1{D}_1$，根据面面平行的性质，若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。由于 $\alpha$ 与面 $ABCD$ 交于 $m$，且平面 $C{B}_1{D}_1$ 与面 $ABCD$ 的平行面（即 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$）有交线 $B_1{D}_1$，或者直接考虑面 $ABCD$ 与面 $C{B}_1{D}_1$ 的位置关系。事实上，$m$ 必定平行于 $B_1{D}_1$ 在底面 $ABCD$ 上的投影或其平行线。

2. 确定交线 $n$ 的方向：同理，$\alpha$ 与侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 的交线 $n$ 必定平行于平面 $C{B}_1{D}_1$ 与侧面 $CD{D}_1{C}_1$（或其平行面）的交线 $C{D}_1$ 或 $B_{1}C$。

3. 转化角：在正方体中，连接 $A{D}_1,A{B}_1,B_1{D}_1$ 等。可以发现满足条件的平面 $\alpha$ 其实就是平面 $A{B}_1{D}_1$ 的平行面（甚至在顶点 $A$ 处，可以考虑特殊的截面）。

4. 计算：确定 $m$ 与 $n$ 所在的直线方向后，利用等边三角形或勾股定理求角。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 寻找平行的交线：

• 因为 $\alpha //\text{平面 }C{B}_1{D}_1$，且 $\alpha \cap \text{面 }ABCD=m$，而 $\text{面 }ABCD//\text{面 }{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$。

• 在平面 $C{B}_1{D}_1$ 中，$B_1{D}_1$ 位于顶部平面。根据面面平行的性质，$m//B_1{D}_1$。在底面中，$BD//B_1{D}_1$，故 $m//BD$。

• 同理，平面 $\alpha \cap \text{面 }AB{B}_1{A}_1=n$。在平面 $C{B}_1{D}_1$ 中，线段 $C{D}_1$ 所在的平面 $CD{D}_1{C}_1//\text{面 }AB{B}_1{A}_1$。故 $n//A{B}_1$（或者考虑 $n//A{D}_1$，取决于平面的具体方位）。

2. 确定直线方向：

• 实际上，平面 $A{B}_1{D}_1//\text{平面 }C{B}_1{D}_1$ 是错误的（它们相交）。

• 正确构造：在正方体中，平面 $AC{D}_1//\text{平面 }{A}_{1}B{C}_1$。

• 观察题目条件：$\alpha$ 过点 $A$ 且平行于平面 $C{B}_1{D}_1$。

• 满足条件的直线 $m$（在底面 $ABCD$ 上）必平行于 $B_1{D}_1$，即 $m//BD$。

• 满足条件的直线 $n$（在侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 上）必平行于 $B_{1}C$，即 $n//A{B}_1$。

3. 计算夹角：

• 直线 $m,n$ 所成的角即为直线 $BD$ 与 $A{B}_1$ 所成的角。

• 连接 $B_{1}D$。在 $△A{B}_{1}D$ 中： $A{B}_1,AD,BD$ 均为正方体面的对角线，长度相等。

• 故 $△A{B}_{1}D$ 为等边三角形，其三个内角均为 $60^{\circ }$。

• 所以 $m,n$ 所成的角为 $60^{\circ }$。

4. 求正弦值： $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 模型识别：正方体中，互相平行的平面组（如截面三角形 $A{B}_1{D}_1$ 与 $C_{1}BD$）是高频考点。
• 平移的思想：求空间直线夹角的核心是“平移至同一个点”，利用三角形的性质求解。
• 本题关键在于将 $m$ 识别为底面对角线方向，将 $n$ 识别为侧面对角线方向。在正方体中，任意两个不共面的面对角线所成的角通常是 $60^{\circ }$ 或 $90^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若求 $m$ 与侧棱 $A{A}_1$ 所成的角？（答案为 $45^{\circ }$）。
2. 知识关联：本题考查了空间想象力及对平行关系的深度理解，是全国卷立体几何选择题的压轴水平。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-17 解-直线与平面平行判定
• 2014-新课标II卷理-18 解-直线与平面平行判定
• 2014-江苏卷-16 解-直线与平面平行判定

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