2014-江苏卷-16 解-直线与平面平行判定

本题导读

本题考查空间中直线与平面平行、平面与平面垂直的证明。第一问利用三角形中位线性质证明线面平行；第二问通过计算线段长度，利用勾股定理逆定理证明线线垂直，进而转化为线面垂直与面面垂直。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$D,E,F$ 分别为棱 $PC,AC,AB$ 的中点，已知 $PA\perp AC$，$PA=6,BC=8,DF=5$.求证：

(1) 直线 $PA\parallel$ 平面 $DEF$；

(2) 平面 $BDE\perp$ 平面 $ABC$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问证平行：在 $△PAC$ 中，利用 $D,E$ 是中点构造中位线 $DE$，得到 $DE\parallel PA$，从而利用线面平行的判定定理得证。
2. 第二问证垂直：
   • 长度计算：利用中位线定理求出 $DE=\frac{1}{2}PA$ 和 $EF=\frac{1}{2}BC$ 的长度。
   • 线线垂直：在 $△DEF$ 中，利用 $DE,EF,DF$ 的长度满足勾股定理逆定理，证明 $DE\perp EF$。
   • 线面垂直：结合 $PA\perp AC$ 及 $DE\parallel PA$ 得到 $DE\perp AC$，进而证明 $DE\perp$ 平面 $ABC$。
   • 面面垂直：由线面垂直推导出包含该直线的平面与底面垂直。

✅【答案】

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所以 直线 $PA\parallel$ 平面 $DEF$。；所以 平面 $BDE\perp$ 平面 $ABC$

✍【详细解析】

Abstract

证明： (1) 因为 $D,E$ 分别为 $PC,AC$ 的中点， 所以在 $△PAC$ 中，$DE$ 是中位线， 则 $DE\parallel PA$。 又因为 $PA\not\subset$ 平面 $DEF$，$DE\subset$ 平面 $DEF$， 所以 直线 $PA\parallel$ 平面 $DEF$。

(2) 因为 $D,E$ 分别为 $PC,AC$ 的中点， 所以 $DE=\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}\times 6=3$。 因为 $E,F$ 分别为 $AC,AB$ 的中点， 所以 $EF$ 是 $△ABC$ 的中位线，则 $EF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\times 8=4$。 已知 $DF=5$， 在 $△DEF$ 中，$D{E}^2+E{F}^2=3^2+4^2=25=D{F}^2$， 根据勾股定理逆定理，$\angle DEF=90^{\circ }$，即 $DE\perp EF$。 又因为 $PA\perp AC$，$DE\parallel PA$， 所以 $DE\perp AC$。 因为 $AC\cap EF=E$，$AC,EF\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $DE\perp$ 平面 $ABC$。 又因为 $DE\subset$ 平面 $BDE$， 所以 平面 $BDE\perp$ 平面 $ABC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行、线面垂直及面面垂直的判定定理。

2. 核心方法：通过“中位线”将空间中分散的边长关系集中到同一个三角形中进行度量计算。

3. 避坑指南：证明面面垂直时，必须先证线面垂直。在证明 $DE\perp$ 平面 $ABC$ 时，务必指出 $AC$ 与 $EF$ 是平面内两条相交的直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直角三角形判定、空间距离计算。

2. 结论推广: 在三棱锥中，若两侧棱中点的连线垂直于底面，则该侧面与底面垂直。

3. 方法推广: 坐标法。若三棱锥底面为直角三角形或 PA 垂直于底面，可建立空间直角坐标系通过向量法证明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-18 解-直线与直线平行
• 2013-湖北卷理-19 解-直线与平面平行、垂直判定
• 2013-江苏卷-16 解-面面平行判定