2016-全国卷I理-19 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量及其分布列、数学期望的计算及其应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 某公司计划购买 2 台机器，使用三年后淘汰.机器有一种易损零件，购买机器时可额外购买备件，每个 200 元；使用期间若备件不足再购买，则每个 500 元.收集了 100 台这种机器在三年内更换易损零件数的数据如下柱状图：

以这 100 台机器更换零件数的频率代替 1 台机器更换零件数发生的概率.记 $X$ 表示 2 台机器三年内共需更换的零件数，$n$ 表示购买机器时同时购买的备件数.

(1)求 $X$ 的分布列；

(2)若要求 $P(X\le n)\ge 0.5$，确定 $n$ 的最小值；

(3)以期望值为决策依据，在 $n=19$ 与 $n=20$ 之中选其一，哪个更合适？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（分布列）：单台机器更换零件数 $Y$ 的分布为：$P(Y=8)=0.2,P(Y=9)=0.4,P(Y=10)=0.2,P(Y=11)=0.2$。$X=Y_1+Y_2$，列出所有可能的加和情况（16 到 22），利用独立重复实验的概率乘法公式求出各点概率。
2. 第二问（概率判定）：将分布列中的概率从 $X=16$ 开始累加，直到和超过 $0.5$。
3. 第三问（期望决策）：

• 成本公式：$C=200n+500\times \max (0,X-n)$。
• 分别计算 $n=19$ 和 $n=20$ 时的成本期望 $E(C)$。
• 比较两者大小，选择期望成本较低的方案。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由柱状图知，单台机器更换零件数的概率分布为： $P(Y=8)=0.2,P(Y=9)=0.4,P(Y=10)=0.2,P(Y=11)=0.2$。 $X$ 的可能取值为 $16,17,18,19,20,21,22$。 $P(X=16)=0.2\times 0.2=0.04=\frac{1}{25}$； $P(X=17)=2\times 0.2\times 0.4=0.16=\frac{4}{25}$； $P(X=18)=0.4\times 0.4+2\times 0.2\times 0.2=0.16+0.08=0.24=\frac{6}{25}$； $P(X=19)=2\times 0.4\times 0.2+2\times 0.2\times 0.2=0.16+0.08=0.24=\frac{6}{25}$； $P(X=20)=0.2\times 0.2+2\times 0.4\times 0.2=0.04+0.16=0.20=\frac{5}{25}$； $P(X=21)=2\times 0.2\times 0.2=0.08=\frac{2}{25}$； $P(X=22)=0.2\times 0.2=0.04=\frac{1}{25}$。 $X$ 的分布列如下：

$X$	16	17	18	19	20	21	22
$P$	$\frac{1}{25}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{5}{25}$	$\frac{2}{25}$	$\frac{1}{25}$

(2)计算累积概率： $P(X\le 18)=\frac{1+4+6}{25}=\frac{11}{25}=0.44<0.5$； $P(X\le 19)=\frac{11+6}{25}=\frac{17}{25}=0.68\ge 0.5$。 所以 $n$ 的最小值为 $19$。

(3)若 $n=19$，费用期望 $E_{19}=19\times 200+500\times [1\times P(X=20)+2\times P(X=21)+3\times P(X=22)]$ $E_{19}=3800+500\times [1\times \frac{5}{25}+2\times \frac{2}{25}+3\times \frac{1}{25}]=3800+500\times \frac{12}{25}=3800+240=4040$（元）。 若 $n=20$，费用期望 $E_{20}=20\times 200+500\times [1\times P(X=21)+2\times P(X=22)]$ $E_{20}=4000+500\times [1\times \frac{2}{25}+2\times \frac{1}{25}]=4000+500\times \frac{4}{25}=4000+80=4080$（元）。 因为 $E_{19}<E_{20}$，所以购买 $19$ 个备件更合适。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 独立性前提：计算 $X$ 的概率时，默认两台机器更换零件是相互独立的，这是应用乘法公式的基础。
• 分段函数的期望：期望计算时，若 $X\le n$，额外成本为 0；只有当 $X>n$ 时，才计算 500 元的差价。
• 本题文字量大，关键是理清“提前买”和“临时买”的价格差。这种结合经济决策的统计题是近年高考的主流方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若临时购买的价格涨到每个 1000 元，决策结果是否会向 $n=20$ 偏移？
2. 知识关联：本题考查了随机变量的数字化特征，是解决实际最优策略问题的数学模版。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-03 单-统计图表
• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2017-全国卷III理-03 单-统计图表

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