2016-全国卷I理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的定义及其标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 设圆 $x^2+y^2+2x-15=0$ 的圆心为 $A$，直线 $l$ 过点 $B(1,0)$ 且与 $x$ 轴不重合，$l$ 交圆 $A$ 于 $C,D$ 两点，过 $B$ 作 $AC$ 的平行线交 $AD$ 于点 $E$.

(1)证明 $|EA|+|EB|$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹方程；

(2)设点 $E$ 的轨迹为曲线 $C_1$，直线 $l$ 交 $C_1$ 于 $M,N$ 两点，过 $B$ 且与 $l$ 垂直的直线与圆 $A$ 交于 $P,Q$ 两点，求四边形 $MPNQ$ 面积的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（轨迹方程）：

• 将圆方程配方：$(x+1{)}^2+y^2=16$，得圆心 $A(-1,0)$，半径 $r=4$。
• 利用平行线性质及等腰三角形性质证明 $|EB|=|ED|$。
• 结合 $|EA|+|ED|=|AD|=r$，推出 $|EA|+|EB|=4$。
• 根据椭圆定义，点 $E$ 的轨迹是以 $A,B$ 为焦点的椭圆，求出 $a,b,c$ 即可。

2. 第二问（面积范围）：

• 设线：设直线 $l$ 的方程为 $x=my+1$（考虑其不与 $x$ 轴重合且过 $B$ 点）。
• 求 $MN$：将直线 $l$ 与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出 $|MN|$ 的表达式（含 $m$）。
• 求 $PQ$：由 $PQ\perp l$ 且过 $B(1,0)$，设 $PQ$ 的方程为 $y=-m(x-1)$。利用圆的弦长公式 $|PQ|=2\sqrt{r^2-d^2}$ 求出 $|PQ|$ 表达式。
• 建模：四边形 $MPNQ$ 对角线互相垂直，面积 $S=\frac{1}{2}|MN|\cdot |PQ|$。
• 求值域：化简 $S$ 的表达式，通过变量代换（如令 $t=1+m^2$）或分析函数单调性求范围。

✅【答案】

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（1）|𝐸𝐴|+|𝐸𝐵|=4，点𝐸的轨迹方程为𝑥24+𝑦23=1.（2）四边形𝑀𝑃𝑁𝑄面积的取值范围为[12,8√3).

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)证明：圆方程化为 $(x+1{)}^2+y^2=16$，则圆心 $A(-1,0)$，半径 $R=4$。 因为 $BE//AC$，所以 $\angle CBE=\angle C$（内错角），$\angle EBD=\angle CAD$（这里需根据几何图形判定）。 更简捷地：由 $BE//AC$ 得 $△ADE$ 相似于某三角形？不，考虑 $△ACD$ 是等腰三角形（$AC=AD=R$）。 因为 $BE//AC$，所以 $\angle EBD=\angle C$。又 $\angle D=\angle C$，故 $\angle D=\angle EBD$。 在 $△EBD$ 中，有 $EB=ED$。 故 $|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=R=4$（定值）。 由椭圆定义知，点 $E$ 的轨迹是以 $A(-1,0),B(1,0)$ 为焦点的椭圆。 其中 $2a=4⟹a=2$，$c=1$，则 $b^2=a^2-c^2=3$。 点 $E$ 的轨迹方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（由于 $l$ 不与 $x$ 轴重合，$E$ 不在 $x$ 轴上，故 $y\ne 0$）。

(2)解：由(1)知曲线 $C_1:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。 设直线 $l:x=my+1$。联立 $\{\begin{array}{l}x=my+1\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}$ 得 $(3m^2+4)y^2+6my-9=0$。 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则 $y_1+y_2=\frac{-6m}{3m^2+4},y_1{y}_2=\frac{-9}{3m^2+4}$。 $|MN|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|=\sqrt{1+m^2}\frac{\sqrt{36m^2+36(3m^2+4)}}{3m^2+4}=\frac{12(1+m^2)}{3m^2+4}$。 过 $B(1,0)$ 且垂直于 $l$ 的直线 $PQ$ 方程为：$y=-m(x-1)$，即 $mx+y-m=0$。 圆心 $A(-1,0)$ 到直线 $PQ$ 的距离 $d=\frac{|-m-0-m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2|m|}{\sqrt{m^2+1}}$。 $|PQ|=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{16-\frac{4m^2}{m^2+1}}=4\sqrt{\frac{4m^2+4-m^2}{m^2+1}}=\frac{4\sqrt{3m^2+4}}{\sqrt{m^2+1}}$。 四边形 $MPNQ$ 面积 $S=\frac{1}{2}|MN|\cdot |PQ|=\frac{1}{2}\cdot \frac{12(1+m^2)}{3m^2+4}\cdot \frac{4\sqrt{3m^2+4}}{\sqrt{m^2+1}}=24\cdot \frac{\sqrt{1+m^2}}{\sqrt{3m^2+4}}$。 $S=24\sqrt{\frac{1+m^2}{3(1+m^2)+1}}=24\sqrt{\frac{1}{3+\frac{1}{1+m^2}}}$。 因为直线 $l$ 不与 $x$ 轴重合，所以 $m$ 可以取任意实数。 令 $u=\frac{1}{1+m^2}$，则 $u\in (0,1]$。 当 $m=0$（$l$ 垂直 $x$ 轴）时，$u=1$，$S=24\sqrt{1/4}=12$。 当 $|m|\to \infty$ 时，$u\to 0$，$S\to 24\sqrt{1/3}=8\sqrt{3}$。 所以 $S\in [12,8\sqrt{3})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义法的妙用：第一问若通过坐标运算求轨迹极其繁琐，识别出 $|EA|+|EB|=R$ 是满分关键。
• 结构化消元：在处理 $S$ 的表达式时，不要急于展开，观察分母 $3m^2+4$ 与分子 $1+m^2$ 的倍数关系，利用辅助变量化简是求范围的捷径。
• 范围的开闭：注意 $l$ 不与 $x$ 轴重合这一条件，它决定了 $m$ 的存在性，从而影响值域的端点开闭。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若 $l$ 绕点 $A$ 旋转，轨迹方程及面积范围会如何变化？
2. 知识关联：本题考查了“直线过定点”模型下的弦长问题，是高考压轴题的经典配置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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