2016-全国卷I理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查含绝对值的函数及其图象、分段函数的应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 已知函数 $f(x)=|x+1|-|2x-3|$.

(1)在图中画出 $y=f(x)$ 的图象；

(2)求不等式 $|f(x)|>1$ 的解集.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（作图）：

• 零点分段：绝对值内的表达式零点分别为 $x=-1$ 和 $x=1.5$。
• 化简函数：将定义域划分为 $(-\infty ,-1]$、$(-1,1.5)$、$[1.5,+\infty )$ 三段，分别去掉绝对值符号。
• 描点绘图：根据各段的一次函数表达式在坐标系中画出折线图。

2. 第二问（求解集）：

• 去绝对值：$|f(x)|>1$ 等价于 $f(x)>1$ 或 $f(x)<-1$。
• 分类求解：代入第一问求得的分段函数，分三段区间分别解不等式，最后取各段结果的并集。

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**，合并各段解集：$x<\frac{1}{3}$ 或 $1<x<3$ 或 $x>5$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由零点分段法，去掉绝对值符号： 当 $x\le -1$ 时，$f(x)=-(x+1)-(3-2x)=x-4$； 当 $-1<x<\frac{3}{2}$ 时，$f(x)=(x+1)-(3-2x)=3x-2$； 当 $x\ge \frac{3}{2}$ 时，$f(x)=(x+1)-(2x-3)=4-x$。 即分段函数为： $f(x)=\{\begin{array}{ll}x-4,& x\le -1\\ 3x-2,& -1<x<\frac{3}{2}\\ 4-x,& x\ge \frac{3}{2}\end{array}$

(2)由 $|f(x)|>1$ 知 $f(x)>1$ 或 $f(x)<-1$。

1. 当 $x\le -1$ 时： $|x-4|>1⟹x-4>1$（得 $x>5$）或 $x-4<-1$（得 $x<3$）。 结合 $x\le -1$，得到 $x\le -1$。
2. 当 $-1<x<\frac{3}{2}$ 时： $|3x-2|>1⟹3x-2>1$（得 $x>1$）或 $3x-2<-1$（得 $x<\frac{1}{3}$）。 结合区间限制，得到 $-1<x<\frac{1}{3}$ 或 $1<x<\frac{3}{2}$。
3. 当 $x\ge \frac{3}{2}$ 时： $|4-x|>1⟹4-x>1$（得 $x<3$）或 $4-x<-1$（得 $x>5$）。 结合区间限制，得到 $\frac{3}{2}\le x<3$ 或 $x>5$。

综上所述，合并各段解集： $x<\frac{1}{3}$ 或 $1<x<3$ 或 $x>5$。 解集为 $(-\infty ,\frac{1}{3})\cup (1,3)\cup (5,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：解决绝对值问题的万能方法是“零点分段法”，将复杂的含绝对值函数剥开，化归为熟悉的一段段线性函数。
• 图象辅助：如果手绘了图象，第二问可以直观地看到 $y=1$ 和 $y=-1$ 所在的水平线与折线的交点，通过图象辅助验证解集的边界值（如 $x=1,x=3$ 等）会更稳妥。
• 在求解不等式时，必须时刻关注当前所处的自变量区间限制，取交集后再合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：先解 $f(x)>1$：零点分段后可得解集为 $(1,3)$；再解 $f(x)<-1$ 得 $x<\frac{1}{3}$ 或 $x>5$，两段解集的并集即 $|f(x)|>1$ 的解集。
2. 知识关联：零点分段法是绝对值函数的通法，画出折线图象后，$|f(x)|>1$ 就是“图象跑到 $y=\pm 1$ 带形之外”的部分，数形结合可快速锁定边界；此类绝对值大题是全国卷选考题的高频考点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

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