2016-全国卷II文-05 单-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的焦点与坐标、反比例函数与抛物线的交点，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 设 $F$ 为抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点，曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 与 $C$ 交于点 $P$，$PF\perp x$ 轴，则 $k=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 求出抛物线 $y^2=4x$ 的焦点坐标。
2. 根据 $PF\perp x$ 轴，结合点 $P$ 在抛物线上且横坐标与焦点相同，求出点 $P$ 的纵坐标。
3. 将点 $P$ 的坐标代入曲线方程求出 $k$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的标准方程中 $2p=4⟹p=2$，其焦点坐标为 $F(1,0)$。 因为 $PF\perp x$ 轴，且点 $P$ 在抛物线上，所以点 $P$ 的横坐标 $x_P=x_F=1$。 将 $x=1$ 代入 $y^2=4x$ 得 $y^2=4⟹y=\pm 2$。 由于曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0)$，若 $y=-2,x=1⟹k=-2$（舍去，因为 $k>0$）， 故点 $P$ 的坐标为 $(1,2)$。 将点 $P(1,2)$ 代入曲线方程 $y=\frac{k}{x}$ 得： $2=\frac{k}{1}⟹k=2$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点、交点坐标计算。
2. 核心方法：利用垂直条件确定横坐标。
3. 避坑指南：由 $y^2=4x$ 解得 $y=\pm 2$ 时，需结合 $k>0$ 筛选出符合条件的点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线与基本初等函数交汇问题。
2. 结论推广：过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，抛物线通径长为 $2p$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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