2016-全国卷II文-14 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与目标函数最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1⩾0,\\ x+y-3⩾0,\\ x-3⩽0,\end{array}$ 则 $z=x-2y$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在直角坐标系中画出由不等式组表示的平面区域（可行域）。
2. 将目标函数 $z=x-2y$ 变形为 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}z$，上下平移直线观察截距，确定在哪一个顶点处取得最小值。
3. 联立边界直线求出该顶点坐标，代入目标函数求出最小值。

✅【答案】

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$-5$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件对应的边界直线方程为：

1. $x-y+1=0$
2. $x+y-3=0$
3. $x-3=0$ 画出可行域，三条边界线围成一个封闭的三角形区域：

• 联立 (1) 和 (2)：$\{\begin{array}{l}x-y+1=0\\ x+y-3=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}$，即顶点 $A(1,2)$；
• 联立 (1) 和 (3)：$\{\begin{array}{l}x-3=0\\ x-y+1=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=3\\ y=4\end{array}$，即顶点 $B(3,4)$；
• 联立 (2) 和 (3)：$\{\begin{array}{l}x-3=0\\ x+y-3=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=3\\ y=0\end{array}$，即顶点 $C(3,0)$。 目标函数为 $z=x-2y$，将其变形为 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}z$，直线的斜率为 $\frac{1}{2}$，纵截距为 $-\frac{1}{2}z$。 要使 $z$ 最小，即要求纵截距最大。 将三个顶点坐标代入目标函数检验：
• 在点 $A(1,2)$ 处：$z=1-2(2)=1-4=-3$；
• 在点 $B(3,4)$ 处：$z=3-2(4)=3-8=-5$；
• 在点 $C(3,0)$ 处：$z=3-2(0)=3$。 比较可知，目标函数的最小值为 $-5$。 故答案为 $-5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划、目标函数最值。
2. 核心方法：顶点穷举法。
3. 避坑指南：画图时要准确标出边界及交点，代入顶点坐标时防止计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划常规题。
2. 结论推广：线性目标函数的最值一定在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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