2016-全国卷II文-15 填-解三角形

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系（由余弦求正弦）、正弦定理的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，若 $\cos A=\frac{4}{5},\cos C=\frac{5}{13}$，$a=1$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先利用同角三角函数平方关系分别求出 $\sin A$ 和 $\sin C$ 的值。
2. 利用两角和差公式求出 $\sin B=\sin [180^{\circ }-(A+C)]=\sin (A+C)$ 的值。
3. 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出边长 $b$。

✅【答案】

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$\frac{21}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，已知 $\cos A=\frac{4}{5}$，因为 $A$ 为三角形内角，所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$。 同理，已知 $\cos C=\frac{5}{13}$，则 $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$。 计算角 $B$ 的正弦值： 因为 $B=\pi -(A+C)$，所以 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$。 代入数据得： $\sin B=\left(\frac{3}{5}\right)\times \left(\frac{5}{13}\right)+\left(\frac{4}{5}\right)\times \left(\frac{12}{13}\right)$ $=\frac{15}{65}+\frac{48}{65}=\frac{63}{65}$。 根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，代入 $a=1,\sin A=\frac{3}{5}$ 及 $\sin B=\frac{63}{65}$： $\frac{1}{3/5}=\frac{b}{63/65}⟹\frac{5}{3}=\frac{65b}{63}$。 解得： $b=\frac{5}{3}\times \frac{63}{65}=\frac{21}{13}$（计算核对：$\frac{5\times 63}{3\times 65}=\frac{315}{195}=\frac{21}{13}$）。 故答案为 $\frac{21}{13}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数关系、两角和正弦公式、正弦定理。
2. 核心方法：三角函数诱导与正弦定理比例法。
3. 避坑指南：三角形内角的正弦值恒大于 0，计算 $\sin B=\sin (A+C)$ 时注意符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形中的常规综合题。
2. 结论推广：已知三角形两内角的余弦值，可通过和差公式迅速求出第三个角的正弦值，再结合正弦定理求边。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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