2016-全国卷II文-16 填-集合

本题导读

本题考查逻辑推理与信息筛选、集合元素的分配问题，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 有三张卡片，分别写有 $1$ 和 $2$，$1$ 和 $3$，$2$ 和 $3$.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 $2$”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 $1$”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 $5$”，则甲的卡片上的数字是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 列出所有卡片：设三张卡片分别为 $C_1=\{1,2\},C_2=\{1,3\},C_3=2,3$。
2. 甲、乙、丙三人分别拿走一张，共有 $3!=6$ 种分配方案。
3. 结合三人的对话条件逐一排查，筛选出唯一符合所有条件的分配方案。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

三张卡片为：$C_1=\{1,2\},C_2=\{1,3\},C_3=\{2,3\}$。 设甲、乙、丙分到的卡片分别为 $K_{\text{甲}},K_{\text{乙}},K_{\text{丙}}$。 分析条件：

1. 丙说：“我的卡片上的数字之和不是 $5$”。

• 卡片 $C_3=\{2,3\}$ 的数字之和为 $2+3=5$。

• 因此，丙的卡片不能是 $\{2,3\}$（即 $K_{\text{丙}}\ne \{2,3\}$）。

• 丙只能从 $\{1,2\}$ 或 $\{1,3\}$ 中选择。

2. 乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 $1$”。

• 这说明乙和丙的卡片不能同时包含数字 $1$。

3. 甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 $2$”。

• 这说明甲和乙的卡片不能同时包含数字 $2$。

我们通过穷举与排除进行推导：

• 若丙的卡片 $K_{\text{丙}}=\{1,2\}$：
• 剩下卡片为 $\{1,3\}$ 和 $\{2,3\}$ 分配给甲和乙。
• 乙和丙不能同时含 $1$，所以乙不能拿 $\{1,3\}$，乙只能拿 $\{2,3\}$。
• 若乙拿 $\{2,3\}$，则甲拿 $\{1,3\}$。
• 检查甲的条件：“我与乙的卡片上相同的数字不是 $2$”。甲为 $\{1,3\}$，乙为 $\{2,3\}$，它们相同的数字是 $3$（不是 $2$），满足条件！
• 检查乙的条件：“我与丙的卡片上相同的数字不是 $1$”。乙为 $\{2,3\}$，丙为 $\{1,2\}$，它们相同的数字是 $2$（不是 $1$），满足条件！
• 检查丙的条件：丙为 $\{1,2\}$，和为 $3\ne 5$，满足条件！ 此时，甲的卡片是 $\{1,3\}$。

核对其他分配方案可知该解唯一。 因此，甲的卡片上的数字是 $1$ 和 $3$（或 $1,3$）。 故答案为：$1$ 和 $3$（写“$1,3$”或“$1$ 与 $3$”均可）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：逻辑推理、条件过滤。
2. 核心方法：列表穷举与逆向排除法。
3. 避坑指南：仔细理解“相同的数字不是……”这一表述，是指交集不能包含特定元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：经典的博弈与逻辑推理趣题在高考中的改编。
2. 结论推广：多人多条件的信息过滤问题通常采用假设法或列表法求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-全国卷III文-01 单-集合
• 2017-全国卷III理-01 单-集合

专题合集 (Series)