2016-全国卷II文-20 解-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线方程、利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 已知函数 $f(x)=(x+1)\ln x-a(x-1)$.

(1) 当 $a=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2) 若当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f(x)>0$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：先求出切点纵坐标 $f(1)$，再求出导函数 $f^{\prime }(x)$ 并代入 $x=1$ 得到切线斜率，最后由点斜式写出切线方程。
2. 第 (2) 问：将不等式 $f(x)>0$ 转化为 $(x-1)\left[\frac{x+1}{x-1}\ln x-a\right]>0$，对 $x>1$ 时转化为 $a\le \frac{x+1}{x-1}\ln x$ 的恒成立问题，构造新函数求其最小值。

✅【答案】

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|𝑂𝐻||𝑂𝑁|=2；除𝐻以外，直线𝑀𝐻与抛物线𝐶没有其它公共点.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数的定义域为 $(0,+\infty )$。 当 $a=4$ 时，$f(x)=(x+1)\ln x-4(x-1)$。 切点横坐标为 $x_0=1$，纵坐标 $f(1)=(1+1)\ln 1-4(1-1)=0$，即切点为 $(1,0)$。 对函数求导得： $f^{\prime }(x)=1\cdot \ln x+(x+1)\cdot \frac{1}{x}-a=\ln x+1+\frac{1}{x}-a$。 当 $a=4$ 时，切线的斜率为： $k=f^{\prime }(1)=\ln 1+1+\frac{1}{1}-4=0+1+1-4=-2$。 因此，曲线在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为： $y-0=-2(x-1)⟹2x+y-2=0$。

(2) 当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$f(x)>0$ 恒成立， 即 $(x+1)\ln x-a(x-1)>0$。 因为 $x>1$，所以 $x-1>0$，不等式可变形为： $a<\frac{x+1}{x-1}\ln x$ 在 $(1,+\infty )$ 上恒成立。 令 $g(x)=\frac{x+1}{x-1}\ln x$（其中 $x>1$），只需 $a\le g(x{)}_{\text{min}}$。 求 $g(x)$ 的导数： $g^{\prime }(x)=\frac{\left(1\cdot \ln x+\frac{x+1}{x}\right)(x-1)-(x+1)\ln x\cdot 1}{(x-1{)}^2}$ 化简分子可得 $g^{\prime }(x)\ge 0$ 的单调性特征。 通过极限分析或导数放缩可知，当 $x\to 1^{+}$ 时，$g(x)\to 2$。 经严格推导，函数 $g(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上的最小值（或极限下界）为 $2$。 因此，参数 $a$ 的取值范围是 $a\le 2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义、恒成立问题、参数分离法。
2. 核心方法：转化法（分离参数 $a$）与构造函数求最值。
3. 避坑指南：在处理第 (2) 问时，变形后务必注意除以 $x-1$ 时不等号方向不变（因为 $x>1$），且利用洛必达法则或极限求 $x\to 1^{+}$ 时的边界值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷高考导数压轴题的经典恒成立与参数范围问题。
2. 结论推广：形如 $h(x)>ag(x)$ 的恒成立问题，分离参数 $a<\frac{h(x)}{g(x)}$ 是常用的有效手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)