2016-全国卷II理-05 单-排列组合

本题导读

本题考查分步乘法计数原理、组合与排列（最短路径问题），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 如图，小明从街道的 $E$ 处出发，先到 $F$ 处与小红会合，再一起到位于 $G$ 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ()

A. 24　　　　　　　B. 18　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

1. 任务拆解：小明的行程分为两个阶段：$E\to F$ 和 $F\to G$。根据分步乘法原理，总路径数等于两段路径数的乘积。
2. 计算 $E\to F$ 的路径数：

• 观察网格，$E$ 到 $F$ 需要向右走 2 格，向上走 2 格，共计 4 步。
• 只要在 4 步中随机选出 2 步向右（或向上），即可构成一条最短路径。
• 公式：$C_4^2$。

3. 计算 $F\to G$ 的路径数：

• 观察网格，$F$ 到 $G$ 需要向右走 2 格，向上走 1 格，共计 3 步。
• 公式：$C_3^1$（或 $C_3^2$）。

4. 汇总结果：将两步结果相乘。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 第一步：计算从 $E$ 处到 $F$ 处的最短路径数 小明需要向右走 2 段，向上走 2 段，总共走 4 段。 最短路径条数为 $C_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$ 条。
2. 第二步：计算从 $F$ 处到 $G$ 处的最短路径数 小明需要向右走 2 段，向上走 1 段，总共走 3 段。 最短路径条数为 $C_3^1=3$ 条。
3. 第三步：计算总路径数 根据分步乘法计数原理，总路径数为 $6\times 3=18$ 条。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 最短路径模型：在 $m\times n$ 的矩形网格中，从左下角到右上角的最短路径数为 $C_{m+n}^m$。
• 乘法原理的应用：当一个过程需要分阶段完成时，务必使用乘法；如果是分类完成，则使用加法。
• 技巧点拨：本题也可以使用“标点法”（逐格累加法）快速推导每一格的路径数，适合不熟悉组合公式的同学。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：如果题目要求不经过 $F$ 处，该如何计算？（用总路径数 $E\to G$ 减去经过 $F$ 的路径数）。
2. 知识关联：此类题目本质上是相同元素的排列问题（如 2 个 R 和 2 个 U 的全排列），与二项式展开式的系数有着深刻的联系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-06 单-排列组合
• 2017-浙江卷-16 填-排列组合
• 2017-上海卷-02 填-排列数

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