2016-全国卷II理-07 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换（左加右减）、正弦型函数的性质（对称轴），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 若将函数 $y=2\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为 ()

A. $x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$ ($k\in \mathbb{Z}$)　　　　　　　　　　B. $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$ ($k\in \mathbb{Z}$)

C. $x=\frac{k\pi }{2}-\frac{\pi }{12}$ ($k\in \mathbb{Z}$)　　　　　　　　　　D. $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{12}$ ($k\in \mathbb{Z}$)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 执行平移变换：遵循“左加右减”原则，将解析式中的 $x$ 替换为 $(x+\frac{\pi }{12})$。

2. 化简解析式：展开并整理得到平移后的函数 $y=2\sin (2x+\varphi )$ 形式。

3. 确定对称轴条件：正弦函数 $y=\sin X$ 的对称轴出现在函数取得最大值或最小值的地方，即 $X=k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

4. 求解方程：将平移后的整体角位移代入上述条件，解出 $x$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求平移后的解析式： 将函数 $y=2\sin 2x$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为： $y=2\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{12}\right)\right]=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 求对称轴方程： 令 $2x+\frac{\pi }{6}=k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
3. 移项并化简： $2x=k\pi +\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}$ $2x=k\pi +\frac{\pi }{3}$ $x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{6}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平移的陷阱：平移变换是针对自变量 $x$ 本身的。如果是 $y=\sin (\omega x)$ 向左平移 $h$，结果是 $y=\sin [\omega (x+h)]$ 而不是 $y=\sin (\omega x+h)$。这是此类题目最容易出错的地方。
• 对称性总结：

• 正弦函数 $y=\sin x$：对称轴 $x=k\pi +\frac{\pi }{2}$；对称中心 $(k\pi ,0)$。
• 余弦函数 $y=\cos x$：对称轴 $x=k\pi$；对称中心 $(k\pi +\frac{\pi }{2},0)$。

• 在考场上，若不确定公式，可以取特殊值 $k=0$ 验证，看此时函数值是否为 $\pm A$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若改为向右平移 $\frac{\pi }{12}$ 个单位长度，则得 $y=2\sin (2x-\frac{\pi }{6})$，对称轴为 $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$（$k\in \mathbb{Z}$）——“左加右减”作用在 $x$ 本身。
2. 知识关联：平移变换“对 $x$ 整体加减”是图象变换的核心：$y=\sin (\omega x)$ 平移 $h$ 后是 $y=\sin [\omega (x\pm h)]$ 而非 $y=\sin (\omega x\pm h)$；对称轴由 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$ 统一求出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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