2016-全国卷II理-09 单-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换、二倍角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 若 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{3}{5}$，则 $\sin 2\alpha =$ ()

A. $\frac{7}{25}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $-\frac{1}{5}$　　　　　　D. $-\frac{7}{25}$

🔍【思路分析】

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1. 转化角的关系： 观察到 $\sin 2\alpha =\cos \left(\frac{\pi }{2}-2\alpha \right)=\cos \left[2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\right]$。 这是一个非常关键的整体代换思路。

2. 利用二倍角公式： 令 $\theta =\frac{\pi }{4}-\alpha$，已知 $\cos \theta =\frac{3}{5}$，求 $\cos 2\theta$。 使用公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$。

3. 替代方法（展开法）： 也可以将 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$ 按照两角差的余弦公式展开，求得 $\sin \alpha +\cos \alpha$ 的值，再通过平方求出 $\sin 2\alpha$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一（整体法 - 推荐）： 因为 $\sin 2\alpha =\cos \left(\frac{\pi }{2}-2\alpha \right)$（诱导公式 $\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$）。 整理得 $\sin 2\alpha =\cos \left[2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\right]$。 利用二倍角公式 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$： $\sin 2\alpha =2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)-1$。 代入已知条件 $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{3}{5}$： $\sin 2\alpha =2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^2-1=2\times \frac{9}{25}-1=\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$。

方法二（展开法）： $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{4}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{4}\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha +\sin \alpha )=\frac{3}{5}$。 则 $\cos \alpha +\sin \alpha =\frac{3\sqrt{2}}{5}$。 两边平方：$(\cos \alpha +\sin \alpha {)}^2={\left(\frac{3\sqrt{2}}{5}\right)}^2$。 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{18}{25}$。 $1+\sin 2\alpha =\frac{18}{25}⟹\sin 2\alpha =\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 锐角三角函数的变换：熟练掌握 $\sin x=\cos (\frac{\pi }{2}-x)$ 这种余角变换在高考中出现频率极高。

• 整体思想：在三角恒等变换中，优先寻找“已知角”与“待求角”之间的倍数、和差关系，往往比直接展开计算量更小且不易出错。

• 符号检查：计算 $\frac{18}{25}-1$ 时注意符号，不要误选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：同法能求 $\cos 2\alpha$ 吗？$\cos 2\alpha =\sin \left(2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\cos \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$，因 $\sin \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\pm \frac{4}{5}$ 不确定，$\cos 2\alpha =\pm \frac{24}{25}$ 不唯一——对比体会本题选余弦型二倍角公式“无需讨论符号”的巧妙。
2. 知识关联：诱导公式搭桥（余角关系）与二倍角公式是“已知单角函数值求复合角函数值”的标准路径；优先选用无需分类讨论符号的公式，可以少走弯路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

专题合集 (Series)