2016-全国卷II理-12 单-函数

本题导读

本题考查函数的中心对称性、反比例函数型图象的变换，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 已知函数 $f(x)$ ($x\in \mathbb{R}$) 满足 $f(-x)=2-f(x)$，若函数 $y=\frac{x+1}{x}$ 与 $y=f(x)$ 图象的交点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots ,(x_m,y_m)$，则 ${\sum }_{i=1}^m(x_i+y_i)=$ ()

A. 0　　　　　　　B. $m$　　　　　　　C. $2m$　　　　　　　D. $4m$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $f(x)$ 的对称性： 由 $f(-x)=2-f(x)$ 可变形为 $\frac{f(x)+f(-x)}{2}=1$。 这说明函数 $f(x)$ 的图象关于点 $(0,1)$ 成中心对称。
2. 分析 $y=\frac{x+1}{x}$ 的对称性： 将函数化简：$y=\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$。 这是一个基础反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 向上平移 1 个单位得到的。 由于 $y=\frac{1}{x}$ 关于原点 $(0,0)$ 中心对称，平移后 $y=1+\frac{1}{x}$ 关于点 $(0,1)$ 中心对称。
3. 确定交点关系： 两个图象都关于点 $(0,1)$ 中心对称，则它们的交点也必关于 $(0,1)$ 成对对称。 若 $(x_i,y_i)$ 是交点，则 $(-x_i,2-y_i)$ 也是交点。
4. 求和计算： 每一对对称点的横、纵坐标之和为：$x_i+(-x_i)+y_i+(2-y_i)=2$。 共有 $m$ 个点，即 $\frac{m}{2}$ 对。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 识别对称中心： 因为 $f(x)+f(-x)=2$，所以 $f(x)$ 关于 $(0,1)$ 对称。 因为 $y=1+\frac{1}{x}$，由反比例函数性质知其关于渐近线交点 $(0,1)$ 对称。
2. 建立交点等式： 设交点为 $P_i(x_i,y_i)$。 由于两函数具有公共对称中心 $(0,1)$， 则交点必关于 $(0,1)$ 成对出现。 即若点 $(x_1,y_1)$ 是交点，则点 $(-x_1,2-y_1)$ 也是交点。
3. 求和： 对于成对的两个点 $(x_i,y_i)$ 和 $(x_j,y_j)$，有： $x_i+x_j=0+0=0$ $y_i+y_j=1+1=2$ 由此可得：$(x_i+y_i)+(x_j+y_j)=2$。 由于共有 $m$ 个交点， 则 ${\sum }_{i=1}^m(x_i+y_i)=\frac{m}{2}\times 2=m$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 结论总结：若函数 $f(x)$ 满足 $f(a+x)+f(a-x)=2b$，则其图象关于点 $(a,b)$ 中心对称。本题中 $a=0,b=1$。
• 数形结合：交点成对出现是解决此类“求和”问题的核心逻辑。
• 看到“抽象函数”与“具体函数”交点坐标求和，第一反应应该是寻找共同的对称中心。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若把 $f$ 的条件改为 $f(1-x)+f(1+x)=4$（图象关于点 $(1,2)$ 中心对称），$y=\frac{x+1}{x}$ 不动，则交点仍成对出现，每对的坐标和为 $2+4=6$，故 ${\sum }_{i=1}^m(x_i+y_i)=3m$。
2. 知识关联：$f(a+x)+f(a-x)=2b$ 即图象关于点 $(a,b)$ 中心对称；反比例型函数 $y=1+\frac{1}{x}$ 本身就是以 $(0,1)$ 为对称中心的基本模型，“交点成对 + 对称配对求和”是数形结合的经典范式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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