2016-全国卷II理-13 填-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理、同角三角函数的基本关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$.若 $\cos A=\frac{4}{5}$，$\cos C=\frac{5}{13}$，$a=1$，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求正弦值：已知 $\cos A$ 和 $\cos C$，利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 求出 $\sin A$ 和 $\sin C$（三角形内角正弦值恒为正）。

2. 转化角 B：利用 $B=\pi -(A+C)$，则 $\sin B=\sin (A+C)$。

3. 和角展开：使用公式 $\sin (A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 计算 $\sin B$。

4. 正弦定理：代入公式 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，解出 $b$。

✅【答案】

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$\frac{21}{13}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算 $\sin A$ 和 $\sin C$： 因为 $\cos A=\frac{4}{5}$，所以 $\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\frac{3}{5}$。 因为 $\cos C=\frac{5}{13}$，所以 $\sin C=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$。
2. 计算 $\sin B$： $\sin B=\sin [\pi -(A+C)]=\sin (A+C)$ $\sin B=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ $\sin B=\frac{3}{5}\times \frac{5}{13}+\frac{4}{5}\times \frac{12}{13}=\frac{15+48}{65}=\frac{63}{65}$。
3. 利用正弦定理求 $b$： 由 $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$ 得： $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{1\times \frac{63}{65}}{\frac{3}{5}}=\frac{63}{65}\times \frac{5}{3}=\frac{21}{13}$。

故答案为 $\frac{21}{13}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式熟练度：勾股数 $(3,4,5)$ 和 $(5,12,13)$ 是高考常客，看到对应的余弦值应能瞬间反应出正弦值。

• 边角互化：在解三角形时，已知两角（或其三角函数值）和一边，首选正弦定理。

• 易错提醒：计算 $\sin B$ 时，注意 $\cos A$ 和 $\cos C$ 的正负号。虽然本题中两者皆为正（均为锐角），但在其他题目中若出现钝角，余弦值应取负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：本题 $B$ 恰为锐角（$\cos B=\frac{16}{65}>0$）；若已知改为 $\cos A=\frac{4}{5}$、$\cos C=-\frac{5}{13}$（$C$ 为钝角），则 $\sin B=\sin (A+C)=\frac{3}{5}\times (-\frac{5}{13})+\frac{4}{5}\times \frac{12}{13}=\frac{33}{65}$，$b=\frac{11}{13}$。
2. 知识关联：“已知两角的三角函数值与一边”首选正弦定理边角互化；用 $\sin B=\sin (A+C)$ 时须先判定角的范围（钝角则余弦为负），避免符号错误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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