2016-全国卷II理-14 填-二面角

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系、直线与平面垂直的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） $α, β$ 是两个平面， $m, n$ 是两条直线，有下列四个命题：

① 如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，那么 $α ⊥ β$ ；

② 如果 $m ⊥ α$ ， $n // α$ ，那么 $m ⊥ n$ ；

③ 如果 $α // β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m // β$ ；

④ 如果 $m // n$ ， $α // β$ ，那么 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等.

其中正确的命题是 .（填写所有正确命题的序号）

🔍【思路分析】

破题导航

逐条判定：

①：利用法向量思考。 $m ⊥ α$ 说明 $m$ 是 $α$ 的法向量。 $n ⊥ m$ 说明 $n$ 在 $α$ 内或与其平行。 $n // β$ 不能确定 $β$ 与 $n$ 的具体角度，故无法判定 $α, β$ 垂直。

②：线面垂直的性质。若 $m ⊥ α$ ，则 $m$ 垂直于 $α$ 内的所有直线。因为 $n // α$ ，可以平移 $n$ 到 $α$ 内，故 $m ⊥ n$ 成立。

③：面面平行的性质。面面平行说明两平面无公共点。若 $m$ 在其中一个面内，则 $m$ 与另一个面必无公共点，即 $m // β$ 。

④：等角定理的延伸。平行的直线与平行的平面所成的角必然相等（可以理解为整体平移后重合）。

✅【答案】

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②③④

✍【详细解析】

Abstract

解：

对于①：设 $α$ 为水平面， $m$ 为铅垂线。若 $n$ 为水平线上的一条直线，则 $m ⊥ n$ 。若 $β$ 是与 $n$ 平行的另一个水平面，此时 $α // β$ ，并不垂直。故①错误。

对于②：因为 $n // α$ ，则在 $α$ 内必存在直线 $b // n$ 。又因为 $m ⊥ α$ ，由线面垂直的定义知 $m ⊥ b$ 。根据异面直线所成角的定义，可知 $m ⊥ n$ 。故②正确。

对于③：由 $α // β$ 知 $α$ 与 $β$ 无公共点。而 $m \subset α$ ，所以 $m$ 与 $β$ 也无公共点。在空间中，直线与平面无公共点即为线面平行。故③正确。

对于④：因为 $m // n$ ， $α // β$ ，直线 $m$ 与 $α$ 的相对位置关系与直线 $n$ 与 $β$ 的相对位置关系完全一致（可以通过平移使 $m$ 与 $n$ 重合， $α$ 与 $β$ 重合），所以它们所成的角相等。故④正确。

故答案为 ②③④

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

模型法：在处理此类问题时，将直线和平面放入正方体模型中进行观察是非常有效的技巧。

关键性质：

线面垂直 $⟹$ 线线垂直（该线与面内任意线）。

面面平行 $⟹$ 线面平行（面内线与另一面）。

填空题中这类“多选题”形式的题目容错率低，必须对每一个选项都有确凿的逻辑推导或反例。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式训练：把①放入正方体检验：取 $α$ 为底面， $m$ 为侧棱， $n$ 平行于底面一边且 $β$ 取过 $n$ 的水平平面，此时 $m ⊥ n$ 、 $m ⊥ α$ 、 $n ∥ β$ 但 $α ∥ β$ 不垂直——一票否决①。正方体模型是检验空间命题的试验田。

知识关联：线面垂直的性质（垂直于面内所有线）与面面平行的性质（面内线平行于另一面）是判定其余命题的支点；这类“多选型”填空题必须逐个命题独立判定，容错率为零。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

2017-全国卷II文-18 解-线面平行

2017-全国卷II理-19 解-二面角

2017-全国卷I文-06 单-线面平行

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2016-全国卷II理-14 填-二面角

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