2016-全国卷II理-16 填-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义、切线方程，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 若直线 $y=kx+b$ 是曲线 $y=\ln x+2$ 的切线，也是曲线 $y=\ln (x+1)$ 的切线，则 $b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设切点：由于是公切线，设直线与 $y=\ln x+2$ 的切点为 $P_1(x_1,y_1)$，与 $y=\ln (x+1)$ 的切点为 $P_2(x_2,y_2)$。
2. 导数求斜率：

• 对于 $y=\ln x+2$，导数为 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$，则 $k=\frac{1}{x_1}$。
• 对于 $y=\ln (x+1)$，导数为 $y^{\prime }=\frac{1}{x+1}$，则 $k=\frac{1}{x_2+1}$。
• 从而得到 $x_1=x_2+1$。

3. 利用切线方程一致性： 切线方程可表示为：

• $y-(\ln x_1+2)=\frac{1}{x_1}(x-x_1)$
• $y-\ln (x_2+1)=\frac{1}{x_2+1}(x-x_2)$

4. 求截距 $b$：将切线方程整理为 $y=kx+b$ 形式，对比截距部分。截距 $b=\ln x_1+1=\ln (x_2+1)+1-\frac{x_2}{x_2+1}$。通过联立求解出切点横坐标，进而求得 $b$。

✅【答案】

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$1-\ln 2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求导与斜率关系： 设直线分别与两曲线切于 $(x_1,\ln x_1+2)$ 和 $(x_2,\ln (x_2+1))$。 由题意知斜率 $k=\frac{1}{x_1}=\frac{1}{x_2+1}$，所以 $x_1=x_2+1$。
2. 表示截距 $b$： 由切线方程 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$ 得 $b=y_0-f^{\prime }(x_0)x_0$。 对于第一条曲线：$b=(\ln x_1+2)-\frac{1}{x_1}\cdot x_1=\ln x_1+1$。 对于第二条曲线：$b=\ln (x_2+1)-\frac{1}{x_2+1}\cdot x_2=\ln (x_2+1)-\frac{x_2}{x_2+1}$。
3. 联立求解： 因为 $x_1=x_2+1$，代入上式： $\ln (x_2+1)+1=\ln (x_2+1)-\frac{x_2}{x_2+1}$ 由此简化为：$1=-\frac{x_2}{x_2+1}$ 解得：$x_2+1=-x_2⟹2x_2=-1⟹x_2=-\frac{1}{2}$。 进而求得 $x_1=x_2+1=\frac{1}{2}$。
4. 计算 $b$ 的值： 将 $x_1=\frac{1}{2}$ 代入 $b=\ln x_1+1$： $b=\ln \frac{1}{2}+1=1-\ln 2$。

故答案为：$1-\ln 2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公切线处理技巧：公切线问题的核心是“斜率相等”且“切线方程完全重合”。

• 函数平移观察：观察发现 $y=\ln (x+1)$ 是 $y=\ln x$ 向左平移 1 个单位，$y=\ln x+2$ 是 $y=\ln x$ 向上平移 2 个单位。这种几何背景有助于理解切点间的位移关系。

• 在求解对数函数相关切线时，常数项的消去是解方程的关键点。本题中 $\ln x_1$ 与 $\ln (x_2+1)$ 的抵消极大简化了计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：把 $y=\ln x+2$ 改为 $y=\ln x+1$，同法（斜率相等 + 截距相等）解得 $x_1=1$、$k=1$，公切线为 $y=x$，即 $b=0$。
2. 知识关联：公切线问题 = “斜率相等”与“切线方程完全相同”两个方程、两个切点；平移视角（$y=\ln x$ 左移 1 个单位、上移 $c$ 个单位）能帮助预判切点关系，是数形结合处理切线问题的典范。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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