2016-全国卷II理-18 解-均值不等式

本题导读

本题考查离散型随机变量的概率分布、条件概率公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 某保险的基本保费为 $a$（单位：元），继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数	0	1	2	3	4	$\ge 5$
保费	$0.85a$	$a$	$1.25a$	$1.5a$	$1.75a$	$2a$

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数	0	1	2	3	4	$\ge 5$
概率	$0.30$	$0.15$	$0.20$	$0.20$	$0.10$	$0.05$

(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出 $60\%$ 的概率；

(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：对比保费表，高于基本保费 $a$ 的情况对应上年度出险次数为 $2,3,4,\ge 5$。可以利用对立事件（不高于 $a$ 的情况即出险 0 次或 1 次）计算。
2. 第二问：这是一个条件概率问题。记“保费高于基本保费”为事件 $A$，“保费比基本保费高出 $60\%$”为事件 $B$。保费高出 $60\%$ 意味着保费 $\ge a(1+0.6)=1.6a$。根据表格，这对应出险次数为 $4$ 或 $\ge 5$。计算 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$。
3. 第三问：计算平均保费，即计算保费的数学期望 $E(X)$，最后求 $\frac{E(X)}{a}$。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)记事件 $A$ 为“本年度续保人保费高于基本保费”。 由表可知，当出险次数为 $0$ 或 $1$ 时，保费分别为 $0.85a$ 和 $a$，均不高于基本保费。 根据对立事件概率公式： $P(A)=1-P(0\text{ 次})-P(1\text{ 次})=1-0.30-0.15=0.55$。 所以，该续保人本年度保费高于基本保费的概率为 $0.55$。

(2)记事件 $B$ 为“保费比基本保费高出 $60\%$”。 高出 $60\%$ 意味着保费 $\ge 1.6a$。由保费表可知，这对应出险次数为 $4$ 次（$1.75a$）或 $\ge 5$ 次（$2a$）。 则 $P(AB)=P(B)=P(4\text{ 次})+P(\ge 5\text{ 次})=0.10+0.05=0.15$。 所求概率为条件概率 $P(B|A)$： $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0.15}{0.55}=\frac{3}{11}$。

(3)记续保人本年度保费为随机变量 $X$。 $E(X)=0.85a\times 0.30+a\times 0.15+1.25a\times 0.20+1.5a\times 0.20+1.75a\times 0.10+2a\times 0.05$ $E(X)=a(0.255+0.15+0.25+0.30+0.175+0.10)=1.23a$。 平均保费与基本保费的比值为： $\frac{E(X)}{a}=1.23$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 实际背景理解：理解“高出 $60\%$”的界限是 $1.6a$ 是解第二问的关键。

• 条件概率陷阱：很多同学会直接计算 $P(B)$，务必审题注意“若…求…”的条件限制。

• 期望计算细心度：第三问计算量较大，建议提取公因式 $a$ 后再进行小数求和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若只统计“出险不超过 1 次”的续保人（概率 $0.30+0.15=0.45$），其平均保费为 $\frac{0.85a\times 0.30+a\times 0.15}{0.45}=0.9a$——条件期望 $E(X\mid X\le 1)$ 与第(2)问的条件概率 $P(B\mid A)$ 是同一种“缩样本空间”思想。
2. 知识关联：分布列、条件概率、期望的三级递进是全国卷概率解答题的固定结构；“高出 60%”翻译为保费不低于 $1.6a$，再用 $P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 求条件概率，是本题的审题关键。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
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