2016-全国卷II理-23 解-参数方程

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程与斜率的关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C$ 的方程为 $(x+6{)}^2+y^2=25$.

(1)以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $C$ 的极坐标方程；

(2)直线 $l$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \end{array}$（$t$ 为参数），$l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|AB|=\sqrt{10}$，求 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：

• 利用极坐标转换公式：$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$。
• 将圆 $C$ 的方程展开并代入公式。

2. 第二问思路：

• 识别直线：观察参数方程，直线过原点且倾斜角为 $\alpha$，故其斜率 $k=\tan \alpha$。直线的一般方程为 $y=x\tan \alpha$。

• 垂径定理：在圆中，弦长 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$，其中 $r$ 为半径，$d$ 为圆心到直线的距离。

• 列式计算：由 $|AB|=\sqrt{10}$ 和 $r=5$ 求出 $d$，再利用点到直线距离公式求出 $\tan \alpha$。

✅【答案】

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（1）𝐶1是以(0,1)为圆心、𝑎为半径的圆，极坐标方程为𝜌2−2𝜌sin𝜃+1−𝑎2=0.（2）𝑎=1.

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)圆 $C$ 的直角坐标方程为 $(x+6{)}^2+y^2=25$， 展开得：$x^2+12x+36+y^2=25$，即 $x^2+y^2+12x+11=0$。 将 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 及 $x^2+y^2={\rho }^2$ 代入上式， 得圆 $C$ 的极坐标方程为：${\rho }^2+12\rho \cos \theta +11=0$。

(2)

1. 确定直线方程： 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t\cos \alpha \\ y=t\sin \alpha \end{array}$ 知直线 $l$ 过原点，其斜率 $k=\tan \alpha$（由题意知 $\cos \alpha \ne 0$）。 直线 $l$ 的一般方程为 $(\tan \alpha )x-y=0$。
2. 利用圆的性质： 圆 $C$ 的圆心为 $(-6,0)$，半径 $r=5$。 设圆心到直线 $l$ 的距离为 $d$，由弦长公式 $|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$， 得 $\sqrt{10}=2\sqrt{25-d^2}⟹10=4(25-d^2)⟹d^2=\frac{90}{4}=\frac{45}{2}$。
3. 求解斜率： 由点到直线的距离公式：$d=\frac{|-6\tan \alpha -0|}{\sqrt{{\tan }^2\alpha +1}}$。 两边平方得：$\frac{36{\tan }^2\alpha }{{\tan }^2\alpha +1}=\frac{45}{2}$。 $72{\tan }^2\alpha =45{\tan }^2\alpha +45⟹27{\tan }^2\alpha =45$。 ${\tan }^2\alpha =\frac{45}{27}=\frac{5}{3}$。 则 $\tan \alpha =\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$。 所以直线 $l$ 的斜率为 $\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式互化：掌握 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $x=\rho \cos \theta$ 是解决极坐标方程的基础。
• 几何法优于代数法：在解决直线与圆的相交弦长问题时，利用勾股定理构建的“弦心距-半径-半弦长”直角三角形（即几何法）通常比联立方程（即代数法）计算量更小且更直观。
• 参数含义：直线的参数方程 $\cos \alpha$ 和 $\sin \alpha$ 直观反映了直线的方向和斜率，是本题的切入点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：第(2)问用几何法：弦心距 $d=\sqrt{r^2-(\frac{|AB|}{2}{)}^2}=\sqrt{25-\frac{10}{4}}=\frac{3\sqrt{10}}{2}$，再由圆心 $(-6,0)$ 到直线 $y=kx$ 的距离列方程得 $k=\pm \frac{\sqrt{15}}{3}$；若改 $|AB|=6$，则 $d=4$，同法解得 $k=\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$。
2. 知识关联：直线与圆的相交弦长问题中，几何法（弦心距—半径—半弦长直角三角形）的计算量远小于代数联立；极坐标互化 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$x=\rho \cos \theta$ 是选考题的基本功。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-全国卷III文-22 解-参数方程
• 2017-全国卷III理-22 解-参数方程

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