2016-全国卷III文-07 单-指数

本题导读

本题考查指数幂与根式的转化、指数函数与幂函数的大小比较，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 已知 $a=2^{\frac{4}{3}},b=3^{\frac{2}{3}},c=25^{\frac{1}{3}}$，则 ()

A. $b<a<c$　　B. $a<b<c$　　C. $b<c<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将各个数统一转化为指数相同（均为 $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{2}{3}$）的形式，或者通过幂函数单调性比较大小。
2. 化简各个数值：$a=(2^4{)}^{\frac{1}{3}}=16^{\frac{1}{3}}$，$b=(3^2{)}^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{3}}$，$c=25^{\frac{1}{3}}$。
3. 根据指数相同且底数大于 0 的幂函数单调性直接比较底数大小。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将 $a,b,c$ 统一化为指数为 $\frac{1}{3}$ 的形式：

• $a=2^{\frac{4}{3}}=(2^4{)}^{\frac{1}{3}}=16^{\frac{1}{3}}$；
• $b=3^{\frac{2}{3}}=(3^2{)}^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{3}}$；
• $c=25^{\frac{1}{3}}$。 因为幂函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且底数满足： $9<16<25$， 所以 $9^{\frac{1}{3}}<16^{\frac{1}{3}}<25^{\frac{1}{3}}$， 即 $b<a<c$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数幂的大小比较。
2. 核心方法：同指数法（化同指数或同底数）。
3. 避坑指南：转化时利用幂的乘方性质 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 统一指数，切勿直接盲目估算小数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：指数与幂大小比较的常规题。
2. 结论推广：若指数相同，底数越大，幂越大（指数大于0时）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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