2016-全国卷III文-11 单-立体几何

本题导读

本题考查直三棱柱的内切球与体积最大值、几何体的截面与半径限制，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 在封闭的直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 内有一个体积为 $V$ 的球，若 $AB\perp BC,AB=6,BC=8,A{A}_1=3$，则 $V$ 的最大值是 ()

A. $4\pi$　　　　　　　B. $\frac{9\pi }{2}$　　　　　　　C. $6\pi$　　　　　　　D. $\frac{32\pi }{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析直三棱柱的底面 $△ABC$：因为 $AB\perp BC$，且 $AB=6,BC=8$，由勾股定理可得斜边 $AC=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
2. 考虑球在直三棱柱内部的半径限制条件：

• 高度方向的限制：直三棱柱的高为 $A{A}_1=3$，球能完全放入柱体内部，其直径不能超过柱体的高，即 $2R\le A{A}_1=3⟹R\le \frac{3}{2}$。
• 底面方向的限制：球必须能放入以 $△ABC$ 为底面的直三棱柱内，其水平截面的半径受限于底面 $△ABC$ 的内切圆半径或夹角对应的切线半径。

3. 计算 $△ABC$ 的内切圆半径 $r$： $△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$， 周长 $L=6+8+10=24$， 内切圆半径 $r=\frac{2S}{L}=\frac{48}{24}=2$。 此外，还要考虑球在直三棱柱各个侧面及上下底面之间的夹缝内切情况，综合三棱柱的几何边界，球半径 $R$ 最大受限于 $\frac{A{A}_1}{2}=\frac{3}{2}$ 以及底面夹角内切圆半径。
4. 取满足所有几何限制的最大半径 $R$，代入球体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$ 求最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面 $△ABC$ 是直角三角形，$AB=6,BC=8,AC=10$，高 $A{A}_1=3$。 球要放在直三棱柱内部，其半径 $R$ 必须满足以下条件：

1. 高度方向的限制： 柱体的高度为 $3$，因此球的直径不能超过 $3$，即 $2R\le 3⟹R\le \frac{3}{2}$。
2. 底面及侧面截口方向的限制： 底面 $△ABC$ 是直角三角形，其内切圆半径 $r=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2$。 但是球在三棱柱内部不仅受底面内切限制，还受侧面与底面二面角的内切约束。通过计算可知，球同时与三棱柱的上下底面及三个侧面相切时，其最大半径由高决定或由侧面夹角决定。 由于 $A{A}_1=3$ 较小，球在上下底面之间滚动时，其最大半径受到高度的一半限制，即 $R\le \frac{3}{2}$（当球同时与上、下底面相切时，最大半径为 $\frac{3}{2}$）。 若球的半径 $R=\frac{3}{2}$，此时其体积为： $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{3}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{8}=\frac{9}{2}\pi$。 验证各选项可知，$\frac{9\pi }{2}$ 对应选项 (B)。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱内切球、球的体积最大值。
2. 核心方法：分析几何体的高与底面对球半径的制约关系。
3. 避坑指南：切勿只计算底面内切圆半径而忽略了三棱柱的高度限制，本题中高度 $A{A}_1=3$ 较小，直接限制了球的直径不能超过 3。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何中关于多面体内切球与体积最值的经典题。
2. 结论推广：直柱体内切球的最大半径受限于柱体高度的一半以及底面内切圆（或旁切圆）半径的最小值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷III理-08 单-球
• 2017-全国卷II文-15 填-外接球

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