2016-全国卷III文-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与目标函数最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x-y+1⩾0,\\ x-2y-1⩽0,\\ x⩽1,\end{array}$ 则 $z=2x+3y-5$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 在直角坐标系中画出由不等式组表示的平面区域（可行域）。
2. 将目标函数 $z=2x+3y-5$ 对应的直线进行平移，找出在可行域的哪个顶点处取得最小值。
3. 联立边界直线求出各顶点坐标，代入目标函数计算最小值。

✅【答案】

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$-10$

✍【详细解析】

Abstract

约束条件对应的边界直线方程为：

1. $2x-y+1=0$
2. $x-2y-1=0$
3. $x=1$ 求出各边界直线的交点（可行域的顶点）：

• 联立 (1) 和 (3)：$\{\begin{array}{l}x=1\\ 2(1)-y+1=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}$，即顶点 $A(1,3)$；
• 联立 (2) 和 (3)：$\{\begin{array}{l}x=1\\ 1-2y-1=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}$，即顶点 $B(1,0)$；
• 联立 (1) 和 (2)：$\{\begin{array}{l}2x-y+1=0\\ x-2y-1=0\end{array}$，两式联立解得 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\end{array}$（注：此处三条直线交于同一点或构成了特定的封闭区域，经核对顶点为 $A(1,3),B(1,0)$ 以及直线交点）。 将各顶点坐标代入目标函数 $z=2x+3y-5$ 检验：
• 在点 $A(1,3)$ 处：$z=2(1)+3(3)-5=2+9-5=6$；
• 在点 $B(1,0)$ 处：$z=2(1)+3(0)-5=2+0-5=-3$。 比较可知，目标函数的最小值为 $-3$。 故答案为 $-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划、目标函数最值。
2. 核心方法：顶点穷举法。
3. 避坑指南：画图时要准确画出边界直线，代入顶点坐标时防止计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划常规题。
2. 结论推广：线性目标函数的最值一定在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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