2016-全国卷III文-16 填-几何证明

本题导读

本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义与切线方程，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x⩽0$ 时，$f(x)={\mathrm{e}}^{-x-1}-x$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 因为切点横坐标为 $x=1$（属于 $x>0$ 的区间），需利用 $f(x)$ 为偶函数的性质 $f(-x)=f(x)$，求出当 $x>0$ 时的函数解析式。
2. 求出当 $x>0$ 时的导函数，计算在 $x=1$ 处的导数值（即切线斜率 $k$）。
3. 利用点斜式写出切线方程。

✅【答案】

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$y=2x$

✍【详细解析】

Abstract

当 $x>0$ 时，$-x<0$，因为 $f(x)$ 是偶函数，所以： $f(x)=f(-x)={\mathrm{e}}^{-(-x)-1}-(-x)={\mathrm{e}}^{x-1}+x$。 对当 $x>0$ 时的函数求导得： $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x-1}+1$。 在点 $(1,2)$ 处，切线斜率为： $k=f^{\prime }(1)={\mathrm{e}}^{1-1}+1={\mathrm{e}}^0+1=1+1=2$。 因此，曲线在点 $(1,2)$ 处的切线方程为： $y-2=2(x-1)⟹y=2x$。 故答案为：$y=2x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数奇偶性应用、导数几何意义、切线方程。
2. 核心方法：对称转化法（通过 $f(x)=f(-x)$ 求正半轴解析式）。
3. 避坑指南：切点在 $x=1$ 处，不能直接对 $x\le 0$ 的解析式求导代入，必须先利用偶函数性质转换解析式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数与导数综合填空题。
2. 结论推广：若已知偶函数在负半轴的解析式，正半轴解析式满足 $f(x)=f(-x)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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