2016-全国卷III理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、二元一次不等式组与平面区域，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+1\ge 0\\ x-2y\le 0\\ x+2y-2\le 0\end{array}$，则 $z=x+y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：在直角坐标系中画出三个不等式对应的直线，并根据不等号方向确定公共区域（可行域）。
2. 分析目标函数：将 $z=x+y$ 变形为 $y=-x+z$。由此可知，$z$ 的几何意义是直线在 $y$ 轴上的截距。
3. 寻找最优解：平移直线 $y=-x$，当直线经过可行域的某个顶点时，截距 $z$ 达到最大。
4. 求顶点坐标：联立直线方程解出顶点坐标，代入 $z$ 表达式计算。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 绘制可行域： 约束条件对应的三条直线为：

• $l_1:x-y+1=0$
• $l_2:x-2y=0$
• $l_3:x+2y-2=0$ 可行域为一个封闭的三角形区域。

2. 确定目标函数运动方向： 令 $y=-x+z$，该直线斜率为 $-1$。当直线向右上方平移时，$z$ 值增大。
3. 求最优顶点： 观察可行域形状，目标函数直线在经过直线 $x-2y=0$ 与 $x+2y-2=0$ 的交点（记为点 $D$）时，$z$ 取得最大值。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x-2y=0\\ x+2y-2=0\end{array}$ 解得：$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\frac{1}{2}\end{array}$ 即顶点 $D(1,\frac{1}{2})$。
4. 计算最大值： 将 $x=1,y=\frac{1}{2}$ 代入 $z=x+y$，得： $z_{max}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

答案为：$\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心步骤：画（可行域）、移（平行移动目标函数直线）、求（交点坐标）、算（代入求值）。
• 易错提醒：
• 画图不准确导致找错最优顶点。
• 目标函数中 $x,y$ 的系数正负会影响截距的变化方向，务必看清是求最大值还是最小值。
• 对于线性目标函数，最优解通常在可行域的“顶点”或“边界”上取得。如果目标函数的斜率介于可行域两条边界线斜率之间，则顶点必为最优解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求 $z=x-y$ 的最小值，则应寻找使直线 $y=x-z$ 截距 $-z$ 最大（即 $z$ 最小）的点。
• 知识关联：线性规划是运筹学的基础，在实际生活中常用于求解成本最低或利润最大的资源配置问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-05 单-线性规划
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式

专题合集 (Series)