2016-全国卷III理-18 解-相关系数

本题导读

本题考查线性回归分析、相关系数 $r$ 的计算与意义。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.注：年份代码 $1-7$ 分别对应年份 $2008-2014$.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以证明；

(2)建立 $y$ 关于 $t$ 的回归方程（系数精确到 $0.01$），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.

附注： 参考数据：${\sum }_{i=1}^7{y}_i=9.32$，${\sum }_{i=1}^7{t}_i{y}_i=40.17$，$\sqrt{{\sum }_{i=1}^7(y_i-\bar{y}{)}^2}=0.55$，$\sqrt{7}\approx 2.646$. 参考公式：相关系数 $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(t_i-\bar{t}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$. 回归方程 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b}t$ 中：$\hat{b}=\frac{{\sum }_{i=1}^n(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{{\sum }_{i=1}^n(t_i-\bar{t}{)}^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：计算相关系数

• 计算平均数 $\bar{t}$ 和 $\bar{y}$。
• 利用变形公式 $\sum (t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})=\sum t_i{y}_i-n\bar{t}\bar{y}$。
• 计算 $\sum (t_i-\bar{t}{)}^2$。
• 代入 $r$ 的公式，若 $|r|$ 越接近 1（通常 $>0.75$），则线性相关性越强。

2. 第二问：求回归方程与预测

• 计算回归系数 $\hat{b}$。
• 根据 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}$ 求出 $\hat{a}$。
• 写出回归方程 $\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$。
• 确定 2016 年对应的 $t$ 值（$t=9$），代入方程求预测值。

✅【答案】

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因此𝑟=2

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由题意得：$\bar{t}=\frac{1+2+3+4+5+6+7}{7}=4$； $\bar{y}=\frac{9.32}{7}\approx 1.331$。 分子：${\sum }_{i=1}^7(t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})={\sum }_{i=1}^7{t}_i{y}_i-7\bar{t}\bar{y}=40.17-7\times 4\times 1.331=40.17-37.268=2.902$。 分母中：${\sum }_{i=1}^7(t_i-\bar{t}{)}^2=(-3{)}^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2+0^2+1^2+2^2+3^2=28$。 则 $r=\frac{2.902}{\sqrt{28}\times 0.55}=\frac{2.902}{2\sqrt{7}\times 0.55}\approx \frac{2.902}{2\times 2.646\times 0.55}\approx \frac{2.902}{2.9106}\approx 0.997$。 因为 $0.997$ 非常接近 1，所以 $y$ 与 $t$ 线性相关关系很强，可用线性回归模型拟合。

(2)$\hat{b}=\frac{\sum (t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\sum (t_i-\bar{t}{)}^2}=\frac{2.902}{28}\approx 0.1036\approx 0.10$。 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{t}=1.331-0.1036\times 4=1.331-0.4144=0.9166\approx 0.92$。 所以 $y$ 关于 $t$ 的回归方程为：$\hat{y}=0.10t+0.92$。 2016 年对应的年份代码为 $t=9$。 当 $t=9$ 时，$\hat{y}=0.10\times 9+0.92=1.82$。 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 $1.82$ 亿吨。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算细节：统计题的难点不在逻辑而在计算。尤其是平均数、离均差平方和的提取。
• 公式变形：熟练使用 $\sum t_i{y}_i-n\bar{t}\bar{y}$ 可以极大减少计算量。
• 精确度控制：注意题目要求“系数精确到 $0.01$”，在中间步骤计算时应多保留几位小数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 知识关联：相关系数 $r>0$ 表示正相关，$r<0$ 表示负相关。回归方程的斜率 $\hat{b}$ 与 $r$ 的符号总是一致的。
• 变式思考：若折线图呈现明显的弯曲，可能需要通过对数变换或幂变换将其转化为线性模型后再处理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-03 单-统计图表
• 2017-全国卷III理-03 单-统计图表
• 2017-全国卷I文-02 单-统计特征

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