2016-全国卷III理-20 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义与简单性质、轨迹方程的求法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知抛物线 $C:y^2=2x$ 的焦点为 $F$，平行于 $x$ 轴的两条直线 $l_1,l_2$ 分别交 $C$ 于 $A,B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $P,Q$ 两点.

(1)若 $F$ 在线段 $AB$ 上，$R$ 是 $PQ$ 的中点，证明：$AR//FQ$；

(2)若 $△PQF$ 的面积是 $△ABF$ 面积的两倍，求 $AB$ 中点的轨迹方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：几何证明

• 核心性质：利用抛物线定义，点到准线的距离等于到焦点的距离（$AP=AF$，$BQ=BF$）。
• 角度转化：通过直角三角形及平行线性质，证明内错角相等。在 $F$ 在线段 $AB$ 上时，利用 $AP//BQ$ 的直角梯形特征进行角度推导。

2. 第二问：轨迹方程

• 面积转化：$△PQF$ 的底 $PQ$ 落在准线上，高为焦点到准线的距离；$△ABF$ 可视为以 $AB$ 所在直线与 $x$ 轴交点为顶点进行分割。通过面积 2 倍关系确定直线 $AB$ 必过定点 $N(1,0)$。
• 点差法：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $M(x,y)$。利用坐标满足方程相减，构造出斜率与中点坐标的关系。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)证明： 由抛物线定义知，$AP=AF$，$BQ=BF$。 因为 $AP//BQ//x$ 轴，且 $F$ 在 $AB$ 上， 在直角梯形 $APQB$ 中（准线垂直于 $x$ 轴），可得 $\angle AFP+\angle BFQ=90^{\circ }$（通过几何关系可证 $\angle PFQ=90^{\circ }$）。 因为 $R$ 是 $PQ$ 的中点，在 $Rt△PFQ$ 中，$RF=RP=RQ$。 则 $△PAR\cong △FAR$（三边对应相等），可得 $\angle PRA=\angle FRA$。 通过等角的余角相等及平行线性质，可得 $\angle PRA=\angle PQF$， 故 $AR//FQ$。

(2) 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，焦点 $F(\frac{1}{2},0)$，准线方程为 $x=-\frac{1}{2}$。

直线 $l_1,l_2$ 平行于 $x$ 轴，设其纵坐标分别为 $y_1,y_2$。 则 $P(-\frac{1}{2},y_1),Q(-\frac{1}{2},y_2)$，故 $|PQ|=|y_1-y_2|$。 $S_{△PQF}=\frac{1}{2}|PQ|\cdot \text{dist}(F,\text{准线})=\frac{1}{2}|y_1-y_2|\cdot 1=\frac{1}{2}|y_1-y_2|$。 设直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $N(n,0)$，则 $S_{△ABF}=\frac{1}{2}|FN|\cdot |y_1-y_2|=\frac{1}{2}|n-\frac{1}{2}|\cdot |y_1-y_2|$。 由 $S_{△PQF}=2S_{△ABF}$ 得：$\frac{1}{2}=2\times \frac{1}{2}|n-\frac{1}{2}|$， 即 $|n-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$。由图意知 $N$ 在 $F$ 右侧，则 $n-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}⟹n=1$。 故直线 $AB$ 过定点 $N(1,0)$。 设 $AB$ 中点为 $M(x,y)$，由点差法： $y_1^2=2x_1,y_2^2=2x_2⟹(y_1-y_2)(y_1+y_2)=2(x_1-x_2)$。 则斜率 $k_{AB}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2}{y_1+y_2}=\frac{2}{2y}=\frac{1}{y}$。 又 $M(x,y),N(1,0)$ 共线，则 $k_{MN}=\frac{y-0}{x-1}=\frac{y}{x-1}$。 令 $\frac{1}{y}=\frac{y}{x-1}⟹y^2=x-1$。

故 $AB$ 中点的轨迹方程为 $y^2=x-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义是灵魂：圆锥曲线问题中，第一步往往是看能不能用定义简化计算。
• 点差法模型：已知弦的中点或求中点轨迹，点差法是最高效的武器，公式为 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot \frac{y_1+y_2}{2}=p$。
• 几何直观：轨迹方程 $y^2=x-1$ 实际上是将原抛物线向右平移了 1 个单位。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将抛物线改为椭圆，中点轨迹通常也是一个椭圆（或其一部分）。
• 知识关联：本题结合了面积、定点、轨迹三个考点，是高考解析几何大题的典型配置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线

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